Matemáticas IIFácil2 pts

Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Junio · Opción A

País Vasco · 2019 · Junio · Opción A
Enunciado
Sean la rectar≡{4x−3y+4z=13x−2y+z=0y el plano x−y+Az=0.r \equiv \begin{cases} 4x - 3y + 4z = 1 \\ 3x - 2y + z = 0 \end{cases} \qquad \text{y el plano } x - y + Az = 0.a) ¿Existe algún valor de AA para que el plano sea paralelo a rr?

b) Encontrar el plano perpendicular a la recta rr que pasa por el punto (0,0,0)(0, 0, 0).
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
a) Sí: para A=3A = 3 el plano x−y+3z=0x - y + 3z = 0 es paralelo a rr (la recta no está contenida en él).

b) 5x+8y+z=05x + 8y + z = 0.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

La recta viene como corte de dos planos, así que su vector director es perpendicular a los dos vectores normales: sale de su producto vectorial.
  • a) Una recta es paralela a un plano cuando su director es perpendicular al normal del plano (producto escalar nulo) y, además, la recta no está contenida en el plano.
  • b) Un plano perpendicular a rr tiene como vector normal el director de rr; con el punto (0,0,0)(0, 0, 0) queda determinado.
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Desarrollo

Vector director de rr. Los normales de los dos planos que la definen son n⃗1=(4,−3,4)\vec n_1 = (4, -3, 4) y n⃗2=(3,−2,1)\vec n_2 = (3, -2, 1):v⃗r=n⃗1×n⃗2=∣i⃗j⃗k⃗4−343−21∣=((−3)⋅1−4⋅(−2),  4⋅3−4⋅1,  4⋅(−2)−(−3)⋅3)=(5,8,1)\vec v_r = \vec n_1 \times \vec n_2 = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \big((-3)\cdot 1 - 4\cdot(-2),\; 4\cdot 3 - 4\cdot 1,\; 4\cdot(-2) - (-3)\cdot 3\big) = (5, 8, 1)a) Condición de paralelismo. El normal del plano es n⃗=(1,−1,A)\vec n = (1, -1, A). Para que rr sea paralela al plano, v⃗r⊥n⃗\vec v_r \perp \vec n:v⃗r⋅n⃗=5⋅1+8⋅(−1)+1⋅A=A−3=0  ⟹  A=3\vec v_r \cdot \vec n = 5\cdot 1 + 8\cdot(-1) + 1\cdot A = A - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; A = 3¿Está rr contenida en el plano? Buscamos un punto de rr: con z=0z = 0 queda 4x−3y=14x - 3y = 1, 3x−2y=03x - 2y = 0, de donde y=32xy = \tfrac32 x y 4x−92x=14x - \tfrac92 x = 1, es decir, x=−2x = -2, y=−3y = -3. El punto P(−2,−3,0)P(-2, -3, 0) es de rr y en el plano x−y+3z=0x - y + 3z = 0 da −2+3+0=1≠0-2 + 3 + 0 = 1 \neq 0: no está en el plano. Por tanto, para A=3A = 3 la recta es paralela al plano (sin estar contenida en él). Para cualquier otro valor de AA la recta corta al plano.

b) Plano perpendicular a rr. Su normal es v⃗r=(5,8,1)\vec v_r = (5, 8, 1):5x+8y+z+D=05x + 8y + z + D = 0y, como pasa por el origen, D=0D = 0:5x+8y+z=05x + 8y + z = 0
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Consejo

La corrección puntúa por separado el vector director de la recta, el vector normal del plano y el valor de AA. El producto vectorial de los normales es el camino más rápido para el director; comprueba que el resultado es perpendicular a los dos (20−24+4=020 - 24 + 4 = 0 y 15−16+1=015 - 16 + 1 = 0). Y recuerda que «director perpendicular al normal» también se cumple si la recta está dentro del plano: comprobar un punto lo deja claro.
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