Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Junio · Opción A

Matrices del sistema.$$A = \begin{pmatrix} m+3 & m & m \\ 3 & 0 & m \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} m+3 & m & m & m-1 \\ 3 & 0 & m & m-2 \\ 0 & -1 & 1 & m-3 \end{array}\right)$$Determinante. Desarrollando por la primera fila:$$|A| = (m+3)\big(0\cdot 1 - m\cdot(-1)\big) - m\,(3\cdot 1 - m\cdot 0) + m\,\big(3\cdot(-1) - 0\big) = m(m+3) - 3m - 3m = m^2 - 3m = m(m-3)$$Se anula para $m = 0$ y $m = 3$.

Caso $m \neq 0$ y $m \neq 3$. $|A| \neq 0$, así que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $m = 0$. El sistema queda$$\begin{cases} 3x = -1 \\ 3x = -2 \\ -y + z = -3 \end{cases}$$Las dos primeras ecuaciones dan $x = -\tfrac13$ y $x = -\tfrac23$ a la vez: es imposible. En rangos: en $A$ las dos primeras filas son iguales, $(3, 0, 0)$, y el menor $\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$, así que $\text{rg}(A) = 2$; en la ampliada, el menor de las columnas 1, 2 y 4$$\begin{vmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & -3 \end{vmatrix} = 3\,(0 - 2) - 0 + (-1)(-3 - 0) = -6 + 3 = -3 \neq 0$$da $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$: sistema incompatible.

Caso $m = 3$. El sistema queda$$\begin{cases} 6x + 3y + 3z = 2 \\ 3x + 3z = 1 \\ -y + z = 0 \end{cases}$$Restando a la primera ecuación el doble de la segunda: $3y - 3z = 0$, que es la tercera multiplicada por $-3$. Así que la primera fila de $A^*$ es combinación de las otras dos y sobra. Las dos últimas no son proporcionales ($\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$), luego $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado, con un grado de libertad.

Resolución para $m = 3$. Nos quedamos con $3x + 3z = 1$ y $-y + z = 0$ y tomamos $z = t$:$$y = t, \qquad 3x = 1 - 3t \;\Longrightarrow\; x = \frac13 - t$$Comprobación en la primera ecuación: $6\left(\tfrac13 - t\right) + 3t + 3t = 2 - 6t + 6t = 2$ ✓.