Matemáticas IIFácil2 pts

Distribución normalSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Julio · Opción B

País Vasco · 2019 · Julio · Opción B
Enunciado
Los resultados obtenidos en una prueba realizada a 500 estudiantes se distribuyen normalmente con media 40 puntos y desviación típica 10 puntos.

a) ¿Qué porcentaje del alumnado tiene una puntuación entre 30 y 60 puntos?

b) ¿Cuántos estudiantes tienen una puntuación superior a 60 puntos?

(Se adjunta la tabla de la distribución normal.)
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Resultado
a) P(30<X<60)=0,8185P(30 < X < 60) = 0{,}8185: el 81,85 %81{,}85\,\% del alumnado.

b) P(X>60)=0,0228P(X > 60) = 0{,}0228 (un 2,28 %2{,}28\,\%): unos 500⋅0,0228=11,4500 \cdot 0{,}0228 = 11{,}4, es decir, unos 11 estudiantes.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

La puntuación es X∼N(40,10)X \sim N(40, 10). Para usar la tabla hay que tipificar: Z=X−4010∼N(0,1)Z = \dfrac{X - 40}{10} \sim N(0, 1). Así 30 se convierte en z=−1z = -1 y 60 en z=2z = 2. La tabla da P(Z≤z)P(Z \leq z) para z≥0z \geq 0; los valores negativos se sacan por simetría. En b), la probabilidad por el total de estudiantes da el número esperado.
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Desarrollo

Tipificación.z30=30−4010=−1,z60=60−4010=2z_{30} = \frac{30 - 40}{10} = -1, \qquad z_{60} = \frac{60 - 40}{10} = 2a) Probabilidad del intervalo.P(30<X<60)=P(−1<Z<2)=P(Z<2)−P(Z<−1)P(30 < X < 60) = P(-1 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -1)Simetría. P(Z<−1)=P(Z>1)=1−P(Z≤1)=1−0,8413=0,1587P(Z < -1) = P(Z > 1) = 1 - P(Z \leq 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587.

Con la tabla. P(Z<2)=0,9772P(Z < 2) = 0{,}9772, así queP(30<X<60)=0,9772−0,1587=0,8185P(30 < X < 60) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185es decir, el 81,85 %81{,}85\,\% del alumnado.

b) Probabilidad de superar 60.P(X>60)=P(Z>2)=1−0,9772=0,0228P(X > 60) = P(Z > 2) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228Número de estudiantes.500⋅0,0228=11,4≈11 estudiantes500 \cdot 0{,}0228 = 11{,}4 \approx 11 \ \text{estudiantes}
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Consejo

Escribe siempre la tipificación con la fórmula z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} y nombra la propiedad de simetría cuando uses un zz negativo: es lo que se puntúa. En b) piden «cuántos estudiantes»: la respuesta es un número entero de personas, no una probabilidad; da el 11,411{,}4 y redondéalo.
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