Matemáticas IIFácil2 pts

IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Julio · Opción B

País Vasco · 2019 · Julio · Opción B
Enunciado
Calcular ∫8x+7(x+1)(x+3) dx\displaystyle\int \frac{8x + 7}{(x + 1)(x + 3)}\,dx explicando el método seguido para dicho cálculo.
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Resultado
Por descomposición en fracciones simples (A=−12A = -\tfrac12, B=172B = \tfrac{17}{2}):∫8x+7(x+1)(x+3) dx=−12ln⁡∣x+1∣+172ln⁡∣x+3∣+C\int \frac{8x + 7}{(x + 1)(x + 3)}\,dx = -\frac{1}{2}\ln|x + 1| + \frac{17}{2}\ln|x + 3| + C
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Estrategia

Es una integral racional con el numerador de menor grado que el denominador y el denominador ya factorizado en dos factores lineales distintos. El método: descomponer la fracción en fracciones simples,8x+7(x+1)(x+3)=Ax+1+Bx+3,\frac{8x + 7}{(x + 1)(x + 3)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3},hallar AA y BB, e integrar cada sumando, que da un logaritmo.
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Desarrollo

Descomposición en fracciones simples. Quitando denominadores:8x+7=A(x+3)+B(x+1)8x + 7 = A(x + 3) + B(x + 1)Cálculo de AA y BB. Damos a xx los valores que anulan cada factor:x=−1:−8+7=2A  ⇒  A=−12x = -1:\quad -8 + 7 = 2A \;\Rightarrow\; A = -\frac{1}{2}x=−3:−24+7=−2B  ⇒  B=172x = -3:\quad -24 + 7 = -2B \;\Rightarrow\; B = \frac{17}{2}Comprobación (coeficiente de xx): A+B=8A + B = 8 ✓; término independiente: 3A+B=−32+172=73A + B = -\tfrac32 + \tfrac{17}{2} = 7 ✓.

Integración. Cada fracción es inmediata, ∫dxx+a=ln⁡∣x+a∣\displaystyle\int \frac{dx}{x + a} = \ln|x + a|:∫8x+7(x+1)(x+3) dx=−12∫dxx+1+172∫dxx+3=−12ln⁡∣x+1∣+172ln⁡∣x+3∣+C\int \frac{8x + 7}{(x + 1)(x + 3)}\,dx = -\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x + 1} + \frac{17}{2}\int \frac{dx}{x + 3} = -\frac{1}{2}\ln|x + 1| + \frac{17}{2}\ln|x + 3| + CComprobación derivando.−12(x+1)+172(x+3)=−(x+3)+17(x+1)2(x+1)(x+3)=16x+142(x+1)(x+3)=8x+7(x+1)(x+3) ✓-\frac{1}{2(x + 1)} + \frac{17}{2(x + 3)} = \frac{-(x + 3) + 17(x + 1)}{2(x + 1)(x + 3)} = \frac{16x + 14}{2(x + 1)(x + 3)} = \frac{8x + 7}{(x + 1)(x + 3)} \ ✓
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Consejo

El enunciado pide explicar el método: di que es una integral racional, que el numerador tiene menor grado y que el denominador tiene dos raíces reales simples, y por eso se descompone en fracciones simples. No olvides el valor absoluto dentro del logaritmo ni la constante CC. Derivar el resultado es la mejor comprobación.
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