Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Julio · Opción B

Derivada.$$f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$$que se anula en $x = -2$ y $x = 0$.

Signo de $f'$.(por ejemplo $f'(-3) = 9 > 0$, $f'(-1) = -3 < 0$, $f'(1) = 9 > 0$).

Extremos. En $x = -2$ la función pasa de crecer a decrecer: máximo relativo, con $f(-2) = -8 + 12 - 2 = 2$. En $x = 0$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo, con $f(0) = -2$. Lo confirma la derivada segunda, $f''(x) = 6x + 6$: $f''(-2) = -6 < 0$ y $f''(0) = 6 > 0$.

Punto de inflexión (para el dibujo). $f''(x) = 0 \Rightarrow x = -1$, con $f(-1) = -1 + 3 - 2 = 0$. En $(-1, 0)$ la curva pasa de cóncava hacia abajo ($x < -1$) a cóncava hacia arriba ($x > -1$).

Cortes con los ejes. Con el eje $OY$: $(0, -2)$. Con el eje $OX$: como $f(-1) = 0$, por Ruffini$$x^3 + 3x^2 - 2 = (x + 1)(x^2 + 2x - 2) \;\Rightarrow\; x = -1,\quad x = -1 \pm \sqrt{3}$$es decir, $x \approx -2{,}73$, $x = -1$ y $x \approx 0{,}73$.

Ramas infinitas. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ y $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$: es un polinomio de grado 3, sin asíntotas.

Representación. La curva viene desde abajo por la izquierda, corta al eje $OX$ en $x \approx -2{,}73$, sube hasta el máximo $(-2, 2)$, baja cruzando el eje en el punto de inflexión $(-1, 0)$ hasta el mínimo $(0, -2)$ y vuelve a subir, cortando el eje $OX$ en $x \approx 0{,}73$ y creciendo sin límite. Es simétrica respecto del punto de inflexión $(-1, 0)$, como toda cúbica.