Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Julio · Opción B

Datos de la recta. De la forma continua: punto $A(1, 2, 3)$ y vector director $\vec v = (1, 2, 3)$.

$P$ no está en $r$. Con $x = 1$ el parámetro sería $0$, que da el punto $(1, 2, 3) \neq (1, 2, 5)$. Por tanto la recta y el punto determinan un único plano.

Segundo vector.$$\overrightarrow{AP} = (1, 2, 5) - (1, 2, 3) = (0, 0, 2)$$Vector normal.$$\vec v \times \overrightarrow{AP} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (2\cdot 2 - 3\cdot 0,\; 3\cdot 0 - 1\cdot 2,\; 1\cdot 0 - 2\cdot 0) = (4, -2, 0)$$Tomamos el proporcional $\vec n = (2, -1, 0)$.

Ecuación del plano. Por $A(1, 2, 3)$ con normal $\vec n$:$$2(x - 1) - (y - 2) + 0\,(z - 3) = 0 \;\Longrightarrow\; 2x - y = 0$$Comprobación. $A$: $2 - 2 = 0$ ✓; $P$: $2 - 2 = 0$ ✓; y $\vec n \cdot \vec v = 2 - 2 + 0 = 0$, así que la recta entera está en el plano ✓.

Otra forma (haz de planos). Escribiendo $r$ como corte de dos planos, $2x - y = 0$ y $3y - 2z = 0$, el haz que la contiene es $(2x - y) + \lambda(3y - 2z) = 0$. Imponiendo $P$: $0 + \lambda(6 - 10) = 0$, luego $\lambda = 0$ y el plano es $2x - y = 0$.