Matemáticas IIFácil2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: DeterminantesSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Julio · Opción B

Enunciado

Dada una matriz de tamaño

3 \times 3

cuyo determinante es igual a 5, se realizan sucesivamente las siguientes operaciones:

i) se cambian entre sí la primera y segunda fila,

ii) se multiplica a la tercera columna por

-2

,

iii) se multiplica a toda la matriz por 2 y

iv) se traspone la matriz.

Calcular de forma razonada el valor del determinante de la matriz obtenida.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

El determinante de la matriz obtenida vale

\boxed{80}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

No hace falta conocer la matriz: cada operación cambia el determinante de una forma conocida, así que basta con seguir la pista al número paso a paso aplicando la propiedad de los determinantes que corresponda. Lo único delicado es la tercera operación: multiplicar toda la matriz por 2 multiplica por 2 cada una de sus tres filas.

Desarrollo

Llamamos

M

a la matriz de partida, con

|M| = 5

, y

M_1, M_2, M_3, M_4

a las que se obtienen tras cada operación.

i) Intercambio de dos filas. Al permutar dos filas el determinante cambia de signo:

|M_1| = -|M| = -5

ii) Una columna por $-2$ . Si se multiplica una fila o una columna por un número, el determinante queda multiplicado por ese número:

|M_2| = -2\,|M_1| = -2\cdot(-5) = 10

iii) Toda la matriz por 2. Multiplicar la matriz por 2 es multiplicar por 2 cada una de sus 3 filas, así que el determinante se multiplica por

2^3

|M_3| = |2M_2| = 2^3\,|M_2| = 8 \cdot 10 = 80

iv) Trasponer. Una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante:

|M_4| = |M_3^{t}| = |M_3| = 80

En una sola cuenta.

|M_4| = (-1)\cdot(-2)\cdot 2^3 \cdot 1 \cdot 5 = 80

Consejo

El error más frecuente es la tercera operación: $|2A| = 2^3|A|$ en una matriz $3 \times 3$ , no $2|A|$ . Los criterios dan medio punto por cada operación, así que escribe en cada paso la propiedad que usas (cambio de signo, factor de una línea, $|kA| = k^n|A|$ , $|A^t| = |A|$ ): el resultado final solo no basta.