Matemáticas IIFácil2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Julio · Opción A

Enunciado

Una caja tiene 3 monedas

R

L

M

. La moneda

R

es normal, la

L

tiene cara por los dos lados y la

M

está trucada, de forma que la probabilidad de salir cara es

1/5

. Se tira una moneda elegida al azar.

a) Calcular la probabilidad de que se obtenga cara.

b) Si ha salido cruz, ¿cuál es la probabilidad de que sea la moneda

R

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

P(\text{cara}) = \dfrac{17}{30} \approx 0{,}567

.

b)

P(R \mid \text{cruz}) = \dfrac{5}{13} \approx 0{,}385

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un experimento en dos etapas: primero se elige la moneda (cada una con probabilidad

\tfrac13

) y después se lanza. Un diagrama de árbol lo ordena todo:

a) pide una probabilidad «total»: se suman las ramas que acaban en cara.
b) pide la probabilidad de la causa sabiendo el resultado: es el teorema de Bayes.

Desarrollo

Sucesos.

R

L

M

: «se elige la moneda

R

L

M

»;

C

: «sale cara»;

X

: «sale cruz».

Árbol. Primera etapa:

P(R) = P(L) = P(M) = \tfrac13

. Segunda etapa:

Moneda	$P(C \mid \cdot)$	$P(X \mid \cdot)$
$R$ (normal)	$1/2$	$1/2$
$L$ (dos caras)	$1$	$0$
$M$ (trucada)	$1/5$	$4/5$

a) Probabilidad total.

P(C) = P(R)P(C \mid R) + P(L)P(C \mid L) + P(M)P(C \mid M) = \frac13\cdot\frac12 + \frac13\cdot 1 + \frac13\cdot\frac15 = \frac16 + \frac13 + \frac{1}{15} = \frac{5 + 10 + 2}{30} = \frac{17}{30}

b) Probabilidad de cruz. Es el complementario de a):

P(X) = 1 - \frac{17}{30} = \frac{13}{30}

(Comprobación por el árbol:

\tfrac13\cdot\tfrac12 + \tfrac13\cdot 0 + \tfrac13\cdot\tfrac45 = \tfrac16 + \tfrac{4}{15} = \tfrac{13}{30}

✓.)

Teorema de Bayes.

P(R \mid X) = \frac{P(R)\,P(X \mid R)}{P(X)} = \frac{\frac13\cdot\frac12}{\frac{13}{30}} = \frac{1/6}{13/30} = \frac{30}{78} = \frac{5}{13} \approx 0{,}385

Consejo

Los criterios dan medio punto solo al planteamiento: define los sucesos y dibuja el árbol con todas sus probabilidades antes de calcular. En b) fíjate en qué es lo conocido (salió cruz): va en el denominador. La moneda $L$ nunca da cruz, así que la cruz solo puede venir de $R$ o de $M$ .