Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Julio · Opción A

Puntos de corte.$$x(3 - x) = x^2 \;\Longleftrightarrow\; 3x - 2x^2 = 0 \;\Longleftrightarrow\; x(3 - 2x) = 0 \;\Rightarrow\; x = 0,\ x = \frac{3}{2}$$Los puntos son $(0, 0)$ y $\left(\tfrac32, \tfrac94\right)$.

Dibujo del recinto. $y = x^2$ es la parábola de vértice en el origen, abierta hacia arriba. $y = 3x - x^2$ es una parábola abierta hacia abajo que corta al eje $OX$ en $x = 0$ y $x = 3$, con vértice en $\left(\tfrac32, \tfrac94\right)$. Curiosamente, ese vértice es justo el segundo punto de corte. El recinto $R$ es la región entre $x = 0$ y $x = \tfrac32$ que queda por encima de $y = x^2$ y por debajo de $y = 3x - x^2$: una especie de hoja apoyada en el origen.

Qué curva va por encima. En $x = 1$ (dentro del intervalo): $3 \cdot 1 - 1 = 2$ y $1^2 = 1$. Va por encima $y = 3x - x^2$, y la diferencia es$$(3x - x^2) - x^2 = 3x - 2x^2 \geq 0 \quad \text{en } \left[0, \tfrac32\right]$$Área con la regla de Barrow.$$\text{Área} = \int_0^{3/2} (3x - 2x^2)\,dx = \left[\frac{3x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}\right]_0^{3/2} = \frac{3}{2}\cdot\frac{9}{4} - \frac{2}{3}\cdot\frac{27}{8} = \frac{27}{8} - \frac{9}{4} = \frac{9}{8}$$