Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Julio · Opción A

Enunciado

Sea

f

la función

f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C

.

a) Obtener los valores de

A

B

C

para que su gráfica contenga al punto

P(0, 1)

y para que

f

tenga un mínimo local en el punto

Q(2, 0)

.

b) ¿La función obtenida tiene otros máximos o mínimos locales?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

A = -\dfrac{15}{4}

B = 3

C = 1

f(x) = x^3 - \dfrac{15}{4}x^2 + 3x + 1

.

b) Sí: además del mínimo en

(2, 0)

, tiene un máximo local en

\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{27}{16}\right)

. No tiene ningún otro extremo.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada dato del enunciado se traduce en una ecuación:

«Pasa por $P(0, 1)$ »: $f(0) = 1$ .
«Mínimo local en $Q(2, 0)$ » dice dos cosas: la gráfica pasa por $Q$ , $f(2) = 0$ , y la derivada se anula allí, $f'(2) = 0$ .

Tres ecuaciones para tres incógnitas. Después comprobamos con

f''(2)

que de verdad es un mínimo y, para b), buscamos los demás ceros de

f'

Desarrollo

a) Derivada.

f'(x) = 3x^2 + 2Ax + B

.

Las tres condiciones.

f(0) = 1 \;\Rightarrow\; C = 1

f(2) = 0 \;\Rightarrow\; 8 + 4A + 2B + C = 0 \;\Rightarrow\; 4A + 2B = -9

f'(2) = 0 \;\Rightarrow\; 12 + 4A + B = 0 \;\Rightarrow\; B = -12 - 4A

Resolución del sistema. Sustituyendo

B

en la segunda:

4A + 2(-12 - 4A) = -9 \;\Rightarrow\; -4A - 24 = -9 \;\Rightarrow\; A = -\frac{15}{4}

B = -12 - 4\left(-\frac{15}{4}\right) = -12 + 15 = 3

La función es

f(x) = x^3 - \frac{15}{4}x^2 + 3x + 1

Comprobación de que es un mínimo.

f''(x) = 6x - \dfrac{15}{2}

, y

f''(2) = 12 - 7{,}5 = 4{,}5 > 0

: en

x = 2

hay, en efecto, un mínimo local. Además

f(2) = 8 - 15 + 6 + 1 = 0

✓.

b) Puntos críticos.

f'(x) = 3x^2 - \frac{15}{2}x + 3 = 0 \;\Longleftrightarrow\; 2x^2 - 5x + 2 = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = \frac{5 \pm 3}{4} \;\Rightarrow\; x = 2,\ x = \frac{1}{2}

Naturaleza de $x = \tfrac{1}{2}$ .

f''\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 3 - \tfrac{15}{2} = -\tfrac{9}{2} < 0

: es un máximo local. Su ordenada:

f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} - \frac{15}{16} + \frac{3}{2} + 1 = \frac{2 - 15 + 24 + 16}{16} = \frac{27}{16}

(También se ve con el signo de

f'

: positiva en

(-\infty, \tfrac12)

, negativa en

(\tfrac12, 2)

y positiva en

(2, +\infty)

.)

No hay más extremos locales:

f'

es un polinomio de segundo grado y solo tiene esas dos raíces.

Consejo

«Mínimo en $Q(2, 0)$ » da dos ecuaciones, $f(2) = 0$ y $f'(2) = 0$ : olvidar una de ellas es el fallo típico y deja el sistema sin solución única. Y $f'(2) = 0$ solo dice que hay un punto crítico: comprueba con $f''(2) > 0$ (o con el signo de $f'$ ) que es mínimo.