Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Julio · Opción A

Vector normal del plano. De $\pi \equiv x + 2y + 3z = 6$ se lee $\vec n = (1, 2, 3)$.

Un director perpendicular a $\vec n$. Buscamos $\vec v = (v_1, v_2, v_3)$ con $v_1 + 2v_2 + 3v_3 = 0$. Tomando $v_3 = 0$, $v_1 = 2$, $v_2 = -1$:$$\vec v = (2, -1, 0), \qquad \vec v \cdot \vec n = 2 - 2 + 0 = 0 \ ✓$$La recta. Pasa por $P(1, 0, 0)$ con director $\vec v$:$$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -t \\ z = 0 \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} \qquad\Longleftrightarrow\qquad r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{-1},\ z = 0$$No está contenida en $\pi$. El punto $P$ no es del plano: $1 + 0 + 0 = 1 \neq 6$. Como su director es perpendicular a $\vec n$ y tiene un punto fuera de $\pi$, la recta es paralela a $\pi$ (sin cortarlo).

¿Es única? No. La única condición sobre el director es $\vec v \cdot \vec n = 0$, una sola ecuación con tres incógnitas: hay infinitas direcciones que la cumplen (todas las del plano vectorial $v_1 + 2v_2 + 3v_3 = 0$), por ejemplo $(3, 0, -1)$ o $(0, 3, -2)$, y cada una no proporcional a otra da una recta diferente por $P$.

Dónde están todas. Las rectas que pasan por $P$ y son paralelas a $\pi$ son exactamente las rectas que pasan por $P$ contenidas en el plano paralelo a $\pi$ por $P$:$$\pi' \equiv x + 2y + 3z = 1$$(es el plano de normal $(1, 2, 3)$ que pasa por $P$: $1 + 0 + 0 = 1$).