Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Julio · Opción A

Matrices del sistema.$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & A \end{pmatrix}, \qquad M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & A & A \end{array}\right)$$Determinante de la matriz de coeficientes. Desarrollando por la primera fila:$$|M| = 1\cdot(A - 2) - 2\cdot(A + 2) + 3\cdot(-2 - 2) = A - 2 - 2A - 4 - 12 = -A - 18$$Se anula solo para $A = -18$.

Caso $A \neq -18$. $|M| \neq 0$, así que $\operatorname{rg} M = 3 = \operatorname{rg} M^{*} =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

La solución en ese caso (Cramer). Los tres determinantes de Cramer valen lo mismo que $|M|$:$$\Delta_x = \begin{vmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ A & -2 & A \end{vmatrix} = 6(A - 2) - 2(2A) + 3(-2 - A) = -A - 18$$$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & A & A \end{vmatrix} = 2A - 6(A + 2) + 3(A - 2) = -A - 18, \qquad \Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & A \end{vmatrix} = (A + 2) - 2(A - 2) + 6(-4) = -A - 18$$Por tanto $x = y = z = 1$ sea cual sea $A \neq -18$. Comprobación: $1 + 2 + 3 = 6$, $1 + 1 - 1 = 1$ y $2 - 2 + A = A$ ✓.

Caso $A = -18$. Ahora $|M| = 0$ y el menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, así que $\operatorname{rg} M = 2$.

Rango de la ampliada. Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & -18 \end{vmatrix} = 1\cdot(-18 + 2) - 2\cdot(-18 - 2) + 6\cdot(-2 - 2) = -16 + 40 - 24 = 0$$Como el único menor de orden 3 que contiene al anterior y a la columna de términos independientes es nulo, $\operatorname{rg} M^{*} = 2$. Entonces $\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^{*} = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado, con un grado de libertad.

Las soluciones en ese caso. Restando la segunda ecuación a la primera: $y + 4z = 5$. Con $z = t$:$$y = 5 - 4t, \qquad x = 1 - y + z = -4 + 5t$$$$(x, y, z) = (-4 + 5t,\; 5 - 4t,\; t), \quad t \in \mathbb{R}$$Comprobación en la tercera ecuación: $2(-4 + 5t) - 2(5 - 4t) - 18t = -18$ ✓. Para $t = 1$ se recupera el punto $(1, 1, 1)$: geométricamente, los tres planos siempre pasan por ese punto y, para $A = -18$, se cortan en una recta.