Matemáticas IIDifícil2,5 pts

Probabilidad

También trata: Distribución normal

Comunidad de Madrid · 2019 · Junio (coincidentes) · Opción B

Enunciado

Una compañía de mensajería tiene una probabilidad del

2\,\%

de dañar cada uno de sus envíos. Asumimos que las probabilidades de que varios envíos distintos resulten dañados son independientes entre sí. Se pide:

a) (0,5 puntos) Hallar la probabilidad de que en un lote de

10

paquetes hayan llegado con desperfectos exactamente

2

envíos.

b) (0,5 puntos) Hallar la probabilidad de que en un lote de

10

paquetes hayan llegado con desperfectos

2

o más envíos.

c) (1,5 puntos) Usando la aproximación por la normal adecuada, hallar la probabilidad de que en un lote de

2000

paquetes hayan llegado exactamente

30

paquetes defectuosos.

(Se adjunta la tabla de la distribución normal.)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(X = 2) \approx 0{,}0153 \qquad \text{b)}\ P(X \ge 2) \approx 0{,}0162 \qquad \text{c)}\ P(Y = 30) \approx 0{,}0178}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada envío se daña o no, con probabilidad fija

0{,}02

e independencia: el número de envíos dañados en un lote de

n

es una binomial

B(n;\ 0{,}02)

.

En a) y b) (

n = 10

) se usa la fórmula de la binomial; en b), mejor por el contrario: «2 o más» es

1 - P(X = 0) - P(X = 1)

.

En c) (

n = 2000

) la fórmula es impracticable y se aproxima por una normal con la misma media y varianza. Como la binomial es discreta y la normal continua, «exactamente 30» se convierte, con la corrección de continuidad, en el intervalo

[29{,}5;\ 30{,}5]

Desarrollo

a) Sea

X

= «número de envíos dañados en un lote de

10

»,

X \sim B(10;\ 0{,}02)

P(X = 2) = \binom{10}{2}(0{,}02)^2(0{,}98)^8 = 45 \cdot 0{,}0004 \cdot 0{,}85076 \approx 0{,}0153

b) Por el suceso contrario:

P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - (0{,}98)^{10} - \binom{10}{1}(0{,}02)(0{,}98)^9

= 1 - 0{,}81707 - 10 \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}83375 = 1 - 0{,}81707 - 0{,}16675 \approx 0{,}0162

Es solo un poco mayor que a): con un

2\,\%

de daños, tres o más envíos dañados en

10

es rarísimo.

c) Sea

Y

= «número de paquetes defectuosos en un lote de

2000

»,

Y \sim B(2000;\ 0{,}02)

. Sus parámetros:

\mu = np = 2000 \cdot 0{,}02 = 40, \qquad \sigma = \sqrt{np(1 - p)} = \sqrt{2000 \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}98} = \sqrt{39{,}2} \approx 6{,}261

Como

np = 40 \ge 5

n(1 - p) = 1960 \ge 5

, la aproximación por la normal es adecuada:

Y \approx Y' \sim N(40;\ 6{,}261)

. Con la corrección de continuidad,

P(Y = 30) \approx P(29{,}5 \le Y' \le 30{,}5)

Tipificamos con

Z = \dfrac{Y' - 40}{6{,}261}

\frac{29{,}5 - 40}{6{,}261} \approx -1{,}68, \qquad \frac{30{,}5 - 40}{6{,}261} \approx -1{,}52

P(-1{,}68 \le Z \le -1{,}52) = P(1{,}52 \le Z \le 1{,}68) = P(Z \le 1{,}68) - P(Z \le 1{,}52)

(por la simetría de la normal). En la tabla,

P(Z \le 1{,}68) = 0{,}9535

P(Z \le 1{,}52) = 0{,}9357

P(Y = 30) \approx 0{,}9535 - 0{,}9357 = 0{,}0178

(El valor exacto de la binomial es

\binom{2000}{30}(0{,}02)^{30}(0{,}98)^{1970} \approx 0{,}0181

: la aproximación es buena.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Sin la corrección de continuidad, en c) saldría $P(Y' = 30) = 0$ , porque en una variable continua la probabilidad de un valor concreto es cero. «Exactamente $k$ » se convierte en $[k - 0{,}5;\ k + 0{,}5]$ .

Justifica que la binomial se puede aproximar ( $np$ y $n(1-p)$ mayores que $5$ ) y escribe los parámetros: la corrección da $0{,}5$ puntos solo por $\mu$ y $\sigma$ .