Matemáticas IIDifícil2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Vectores y ángulos
Comunidad de Madrid · 2019 · Junio (coincidentes) · Opción B
Enunciado
Dadas las rectasr≡{x−y=5y+z=1ys≡{x+z=3y+z=4,r \equiv \begin{cases} x - y = 5 \\ y + z = 1 \end{cases} \qquad\text{y}\qquad s \equiv \begin{cases} x + z = 3 \\ y + z = 4 \end{cases},se pide:

a) (1,25 puntos) Escribir unas ecuaciones paramétricas de cada una de las dos rectas y determinar la posición relativa de ambas.

b) (1,25 puntos) Dado el punto P(5,0,1)P(5, 0, 1), de la recta rr, obtener un punto QQ, de la recta ss, de modo que el triángulo OPQOPQ sea rectángulo, con ángulo recto en O(0,0,0)O(0, 0, 0), y calcular las longitudes de los tres lados de dicho triángulo.
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Resultado
a) r: (5+λ,λ,1−λ);s: (3−μ,4−μ,μ);r y s son paralelas\boxed{\text{a)}\ r:\ (5 + \lambda, \lambda, 1 - \lambda);\quad s:\ (3 - \mu, 4 - \mu, \mu);\quad r \text{ y } s \text{ son paralelas}}b) Q=(−34,14,154);OP=26, OQ=2354, PQ=6514\boxed{\text{b)}\ Q = \left(-\frac{3}{4}, \frac{1}{4}, \frac{15}{4}\right);\quad OP = \sqrt{26},\ OQ = \frac{\sqrt{235}}{4},\ PQ = \frac{\sqrt{651}}{4}}
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Estrategia

Las dos rectas vienen como corte de dos planos. Para pasarlas a paramétricas basta tomar una de las variables como parámetro y despejar las otras dos. Con un punto y un director de cada una, la posición relativa se ve enseguida: si los directores son proporcionales, son paralelas o coincidentes, y lo decide si un punto de una está en la otra.

En b), un punto genérico QQ de ss depende de un parámetro; el ángulo recto en OO significa OP→⋅OQ→=0\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} = 0, una ecuación de primer grado. Después, las tres longitudes son módulos de vectores (y se comprueban con Pitágoras).
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Desarrollo

a) Recta rr. Tomamos y=λy = \lambda: de x−y=5x - y = 5, x=5+λx = 5 + \lambda, y de y+z=1y + z = 1, z=1−λz = 1 - \lambda:r≡{x=5+λy=λz=1−λ,λ∈R;Ar(5,0,1), u⃗=(1,1,−1)r \equiv \begin{cases} x = 5 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 - \lambda \end{cases}, \quad \lambda \in \mathbb{R}; \qquad A_r(5, 0, 1),\ \vec{u} = (1, 1, -1)Recta ss. Tomamos z=μz = \mu: x=3−μx = 3 - \mu, y=4−μy = 4 - \mu:s≡{x=3−μy=4−μz=μ,μ∈R;As(3,4,0), v⃗=(−1,−1,1)s \equiv \begin{cases} x = 3 - \mu \\ y = 4 - \mu \\ z = \mu \end{cases}, \quad \mu \in \mathbb{R}; \qquad A_s(3, 4, 0),\ \vec{v} = (-1, -1, 1)Los directores son proporcionales, v⃗=−u⃗\vec{v} = -\vec{u}, así que rr y ss son paralelas o coincidentes. ¿Está As(3,4,0)A_s(3, 4, 0) en rr? En la primera ecuación de rr: 3−4=−1≠53 - 4 = -1 \neq 5. No está, luego rr y ss son paralelas (distintas).

(Comprobación de las paramétricas: los puntos de rr cumplen (5+λ)−λ=5(5 + \lambda) - \lambda = 5 y λ+1−λ=1\lambda + 1 - \lambda = 1 ✓; los de ss, (3−μ)+μ=3(3 - \mu) + \mu = 3 y (4−μ)+μ=4(4 - \mu) + \mu = 4 ✓.)

b) P(5,0,1)P(5, 0, 1) está en rr (λ=0\lambda = 0). Un punto de ss es Q(3−μ, 4−μ, μ)Q(3 - \mu,\ 4 - \mu,\ \mu). El ángulo en OO es recto si OP→⊥OQ→\overrightarrow{OP} \perp \overrightarrow{OQ}:OP→⋅OQ→=5 (3−μ)+0⋅(4−μ)+1⋅μ=15−4μ=0  ⟺  μ=154\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} = 5\,(3 - \mu) + 0\cdot(4 - \mu) + 1\cdot\mu = 15 - 4\mu = 0 \iff \mu = \frac{15}{4}Q=(3−154, 4−154, 154)=(−34, 14, 154)Q = \left(3 - \frac{15}{4},\ 4 - \frac{15}{4},\ \frac{15}{4}\right) = \left(-\frac{3}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{15}{4}\right)(Comprobación: −34+154=3-\frac{3}{4} + \frac{15}{4} = 3 y 14+154=4\frac{1}{4} + \frac{15}{4} = 4, está en ss ✓; OP→⋅OQ→=−154+0+154=0\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} = -\frac{15}{4} + 0 + \frac{15}{4} = 0 ✓.)

Longitudes de los lados:∣OP→∣=25+0+1=26≈5,099|\overrightarrow{OP}| = \sqrt{25 + 0 + 1} = \sqrt{26} \approx 5{,}099∣OQ→∣=916+116+22516=23516=2354≈3,832|\overrightarrow{OQ}| = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{1}{16} + \frac{225}{16}} = \sqrt{\frac{235}{16}} = \frac{\sqrt{235}}{4} \approx 3{,}832QP→=(5+34, −14, 1−154)=(234, −14, −114),∣QP→∣=529+1+12116=6514≈6,379\overrightarrow{QP} = \left(5 + \frac{3}{4},\ -\frac{1}{4},\ 1 - \frac{15}{4}\right) = \left(\frac{23}{4},\ -\frac{1}{4},\ -\frac{11}{4}\right), \qquad |\overrightarrow{QP}| = \sqrt{\frac{529 + 1 + 121}{16}} = \frac{\sqrt{651}}{4} \approx 6{,}379Comprobación con Pitágoras (la hipotenusa es PQPQ, opuesta al ángulo recto): 26+23516=416+23516=65116=∣QP→∣226 + \frac{235}{16} = \frac{416 + 235}{16} = \frac{651}{16} = |\overrightarrow{QP}|^2 ✓.
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Consejo

Directores proporcionales no basta para decir «paralelas»: comprueba con un punto si son la misma recta. La corrección reserva 0,25 puntos a esa comprobación.

«Ángulo recto en OO» quiere decir que los vectores que salen de OO son perpendiculares: OP→⋅OQ→=0\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} = 0. Y comprueba las longitudes con Pitágoras: si no cuadra, hay un error en QQ.
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