Integrales

a) El dominio es $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Asíntota vertical $x = 1$:$$\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{2(x - 1)} = -\infty, \qquad \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{2(x - 1)} = +\infty$$Asíntota horizontal $y = 0$ (por los dos lados):$$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{2(x - 1)} = 0$$Al tener asíntota horizontal en $\pm\infty$, no tiene asíntotas oblicuas.

Monotonía. Como $f(x) = \frac{1}{2}(x - 1)^{-1}$,$$f'(x) = -\frac{1}{2(x - 1)^2} < 0 \quad \text{para todo } x \neq 1$$$f$ es decreciente en $(-\infty, 1)$ y en $(1, +\infty)$, y no tiene extremos relativos. (Ojo: no es decreciente en la unión: $f(0) = -\frac{1}{2} < f(2) = \frac{1}{2}$.)

b) La recta es $y = \dfrac{7 - 2x}{4}$. Puntos de corte con la curva:$$\frac{1}{2(x - 1)} = \frac{7 - 2x}{4} \iff 4 = 2(x - 1)(7 - 2x) \iff 2 = -2x^2 + 9x - 7 \iff 2x^2 - 9x + 9 = 0$$$$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 72}}{4} = \frac{9 \pm 3}{4} \Rightarrow x = \frac{3}{2},\quad x = 3$$Los puntos son $\left(\frac{3}{2}, 1\right)$ y $\left(3, \frac{1}{4}\right)$ (en los dos, curva y recta dan lo mismo ✓). Entre ellos, en $x = 2$: la recta vale $\frac{3}{4}$ y la curva $\frac{1}{2}$, así que la recta va por encima. El recinto acotado está en $x > 1$ (en $x < 1$ la curva es negativa y la recta positiva, y no se cortan), y su área es$$\text{Área} = \int_{3/2}^{3}\left(\frac{7 - 2x}{4} - \frac{1}{2(x - 1)}\right)dx = \left[\frac{7x - x^2}{4} - \frac{1}{2}\ln(x - 1)\right]_{3/2}^{3}$$En $x = 3$: $\frac{21 - 9}{4} - \frac{1}{2}\ln 2 = 3 - \frac{1}{2}\ln 2$. En $x = \frac{3}{2}$: $\frac{\frac{21}{2} - \frac{9}{4}}{4} - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{2} = \frac{33}{16} + \frac{1}{2}\ln 2$. Restando:$$\text{Área} = 3 - \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{33}{16} - \frac{1}{2}\ln 2 = \frac{15}{16} - \ln 2 \approx 0{,}2444\ \text{u}^2$$(Positiva, como debe ser: $\frac{15}{16} = 0{,}9375 > \ln 2 \approx 0{,}6931$.)