Matemáticas IIFácil2,5 pts

Matrices

También trata: Determinantes

Comunidad de Madrid · 2019 · Junio (coincidentes) · Opción B

Enunciado

Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 1 & m & 2 \\ m & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Se pide:

a) (0,5 puntos) Calcular los valores de

m \in \mathbb{R}

para los cuales

B

no tiene inversa.

b) (1 punto) Para

m = 1

, calcular la inversa de la matriz

B

.

c) (1 punto) Para

m = 2

, calcular la matriz producto

A^tB

(donde

A^t

denota la matriz traspuesta de

A

) y el determinante de la matriz

A^2B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ m = \sqrt{2} \text{ y } m = -\sqrt{2} \qquad \text{b)}\ B^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -3 & 8 & -4 \\ 1 & -4 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}

\boxed{\text{c)}\ A^tB = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 7 \\ 2 & 2 & 5 \\ -4 & -6 & -1 \end{pmatrix},\qquad |A^2B| = -32}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. En a) se calcula

|B|

en función de

m

(la primera fila tiene dos ceros: se desarrolla por ella) y se buscan sus raíces. En b), inversa por adjuntos:

B^{-1} = \frac{1}{|B|}\left(\operatorname{Adj}B\right)^t

. En c), el producto se hace a mano, pero el determinante de

A^2B

no hace falta calcular

A^2B

: por las propiedades de los determinantes,

|A^2B| = |A|^2\,|B|

Desarrollo

a) Desarrollando por la primera fila (solo cuenta el

4

|B| = 4\cdot\begin{vmatrix} 1 & m \\ m & 2 \end{vmatrix} = 4\,(2 - m^2)

Se anula cuando

m^2 = 2

, es decir,

m = \pm\sqrt{2}

. Por tanto, $B$ no tiene inversa para $m = \sqrt{2}$ y para $m = -\sqrt{2}$ , y la tiene para cualquier otro valor.

b) Para

m = 1

B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad |B| = 4\,(2 - 1) = 4 \neq 0

Adjuntos:

\begin{array}{lll} B_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -3, & B_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1, & B_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1, \\[2ex] B_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 8, & B_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -4, & B_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0, \\[2ex] B_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -4, & B_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4, & B_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0. \end{array}

Trasponiendo la matriz de adjuntos y dividiendo entre

|B| = 4

B^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -3 & 8 & -4 \\ 1 & -4 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{4} & 2 & -1 \\ \frac{1}{4} & -1 & 1 \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 \end{pmatrix}

Comprobación

B\,B^{-1}

: primera fila de

B

(0, 0, 4)

, por las columnas de la inversa:

4\cdot\frac{1}{4} = 1

0

0

✓. Segunda fila,

(1, 1, 2)

-\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = 0

2 - 1 + 0 = 1

-1 + 1 + 0 = 0

✓. Tercera fila,

(1, 2, 1)

-\frac{3}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = 0

2 - 2 + 0 = 0

-1 + 2 + 0 = 1

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

c) Para

m = 2

B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}

A^tB = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+1+2 & 0+2+2 & 4+2+1 \\ 0+0+2 & 0+0+2 & 4+0+1 \\ 0-2-2 & 0-4-2 & 4-4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 7 \\ 2 & 2 & 5 \\ -4 & -6 & -1 \end{pmatrix}

Para el determinante, como

|XY| = |X|\,|Y|

|A^2B| = |A|\,|A|\,|B| = |A|^2\,|B|

Con

|A| = 1\,(0 + 2) - 1\,(-1 + 2) + 1\,(1 - 0) = 2 - 1 + 1 = 2, \qquad |B| = 4\,(2 - 2^2) = -8

queda

|A^2B| = 2^2\cdot(-8) = -32

Consejo

Desarrolla un determinante por la fila o columna con más ceros: aquí la primera fila de $B$ reduce el cálculo a un menor $2\times 2$ .

Para el determinante de un producto, no multipliques matrices: $|A^2B| = |A|^2|B|$ . Y comprueba siempre la inversa multiplicando; el fallo típico es olvidar trasponer la matriz de adjuntos.