Matemáticas IIFácil2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2019 · Junio (coincidentes) · Opción A

Enunciado

Dados dos sucesos aleatorios

A

B

, con probabilidades respectivas

P(A) = 0{,}4

P(B) = 0{,}5

, se denota por

\overline{A}

\overline{B}

a los sucesos complementarios de

A

B

. Se pide:

a) (1 punto) Suponiendo que

A

B

son independientes, calcular

P\left((A \cap B) \cup \left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)\right)

.

b) (1 punto) Suponiendo que

A

B

son incompatibles, calcular

P\left((A \cap B) \cup \left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)\right)

.

c) (0,5 puntos) Si

P(A \cup B) = 0{,}9

, ¿son

A

B

independientes?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ 0{,}5 \qquad \text{b)}\ 0{,}1 \qquad \text{c)}\ P(A \cap B) = 0 \neq P(A)P(B) = 0{,}2:\ \text{no son independientes}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El suceso

(A \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{B})

es «ocurren los dos o no ocurre ninguno». Sus dos partes son incompatibles (en una ocurre

A

y en la otra no), así que su probabilidad es la suma de las dos. Para

P(\overline{A} \cap \overline{B})

se usa De Morgan:

\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}

.

Lo único que cambia entre a) y b) es cuánto vale

P(A \cap B)

: el producto si son independientes y

0

si son incompatibles. En c) se calcula

P(A \cap B)

con la fórmula de la unión y se compara con

P(A)P(B)

Desarrollo

Como

(A \cap B)

(\overline{A} \cap \overline{B})

son incompatibles y

\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}

P\left((A \cap B) \cup \left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)\right) = P(A \cap B) + 1 - P(A \cup B)

a) Si son independientes,

P(A \cap B) = P(A)\,P(B) = 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2

, y

P(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}7

P\left((A \cap B) \cup \left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)\right) = 0{,}2 + 1 - 0{,}7 = 0{,}5

(Comprobación:

\overline{A}

\overline{B}

también son independientes, y

P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}6 \cdot 0{,}5 = 0{,}3

;

0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}5

✓.)

b) Si son incompatibles,

A \cap B = \varnothing

, así que

P(A \cap B) = 0

P(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}5 = 0{,}9

P\left((A \cap B) \cup \left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)\right) = 0 + 1 - 0{,}9 = 0{,}1

c) Con

P(A \cup B) = 0{,}9

P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}9 = 0

mientras que

P(A)\,P(B) = 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2

. Como

P(A \cap B) = 0 \neq 0{,}2 = P(A)\,P(B)

, $A$ y $B$ no son independientes (son incompatibles, que es justo la situación de b)). Dos sucesos incompatibles con probabilidad positiva nunca son independientes: si ocurre uno, el otro ya no puede ocurrir.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

«Independientes» e «incompatibles» son cosas muy distintas: la primera dice $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ ; la segunda, $P(A \cap B) = 0$ . Con probabilidades positivas, no pueden darse a la vez, y eso es exactamente lo que pregunta c).

Antes de sumar probabilidades de una unión, asegúrate de que los sucesos son incompatibles; si no lo son, hay que restar la intersección.