Matemáticas IIMedio2,5 pts

Vectores y ángulos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias
Comunidad de Madrid · 2019 · Junio (coincidentes) · Opción A
Enunciado
Dados los vectores v⃗=(1,0,−1)\vec{v} = (1, 0, -1) y w⃗=(1,1,0)\vec{w} = (1, 1, 0), se pide:

a) (1 punto) Calcular un vector que sea ortogonal (perpendicular) a v⃗\vec{v} y a w⃗\vec{w}, que tenga módulo 3/2\sqrt{3}/2, y cuya tercera coordenada sea negativa.

b) (0,5 puntos) Calcular un vector u⃗\vec{u} ortogonal a v⃗\vec{v} y tal que u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} sean linealmente independientes.

c) (1 punto) Hallar la proyección del punto P(5,1,−1)P(5, 1, -1) sobre el plano que pasa por el origen de coordenadas y contiene a los vectores v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w}.
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Resultado
a) (−12,12,−12)b) u⃗=(1,0,1) (cualquier (a,b,a) con b≠2a)c) P′=(4,2,−2)\boxed{\text{a)}\ \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right) \qquad \text{b)}\ \vec{u} = (1, 0, 1) \text{ (cualquier } (a, b, a) \text{ con } b \neq 2a) \qquad \text{c)}\ P' = (4, 2, -2)}
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Estrategia

El producto vectorial v⃗×w⃗\vec{v} \times \vec{w} es perpendicular a los dos: en a) solo hay que reescalarlo para que tenga el módulo pedido y elegir el signo que deja la tercera coordenada negativa.

En b) hay dos condiciones: u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v} = 0 y det⁡(u⃗,v⃗,w⃗)≠0\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \neq 0. Se escribe un u⃗\vec{u} genérico, se imponen y se elige uno sencillo (hay infinitos).

En c), el plano tiene como normal v⃗×w⃗\vec{v} \times \vec{w} (ya calculado). La proyección de PP es el pie de la recta perpendicular al plano que pasa por PP.
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Desarrollo

a) Un vector perpendicular a v⃗\vec{v} y a w⃗\vec{w}:v⃗×w⃗=∣i⃗j⃗k⃗10−1110∣=(0+1, −1−0, 1−0)=(1,−1,1)\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 1,\ -1 - 0,\ 1 - 0) = (1, -1, 1)con ∣v⃗×w⃗∣=1+1+1=3|\vec{v} \times \vec{w}| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}. Todos los vectores perpendiculares a v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} son de la forma k (1,−1,1)k\,(1, -1, 1), con módulo ∣k∣3|k|\sqrt{3}. Para que valga 32\frac{\sqrt{3}}{2}, ∣k∣=12|k| = \frac{1}{2}, y para que la tercera coordenada (kk) sea negativa, k=−12k = -\frac{1}{2}:a⃗=(−12, 12, −12)\vec{a} = \left(-\frac{1}{2},\ \frac{1}{2},\ -\frac{1}{2}\right)Comprobación: a⃗⋅v⃗=−12+0+12=0\vec{a}\cdot\vec{v} = -\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 0 ✓, a⃗⋅w⃗=−12+12+0=0\vec{a}\cdot\vec{w} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 = 0 ✓ y ∣a⃗∣=14⋅3=32|\vec{a}| = \sqrt{\frac{1}{4}\cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} ✓.

b) Sea u⃗=(a,b,c)\vec{u} = (a, b, c).
  • Ortogonal a v⃗\vec{v}: u⃗⋅v⃗=a−c=0⇒c=a\vec{u}\cdot\vec{v} = a - c = 0 \Rightarrow c = a.
  • Independientes: det⁡(u⃗,v⃗,w⃗)=u⃗⋅(v⃗×w⃗)=a−b+c≠0\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \vec{u}\cdot(\vec{v} \times \vec{w}) = a - b + c \neq 0, es decir, 2a−b≠02a - b \neq 0.
Cualquier u⃗=(a,b,a)\vec{u} = (a, b, a) con b≠2ab \neq 2a sirve. Por ejemplo, con a=1a = 1, b=0b = 0:u⃗=(1,0,1)\vec{u} = (1, 0, 1)Comprobación: u⃗⋅v⃗=1+0−1=0\vec{u}\cdot\vec{v} = 1 + 0 - 1 = 0 ✓ y∣10110−1110∣=1 (0+1)−0+1 (1−0)=2≠0 ✓\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1\,(0 + 1) - 0 + 1\,(1 - 0) = 2 \neq 0 \ ✓(Otra elección válida es u⃗=v⃗×w⃗=(1,−1,1)\vec{u} = \vec{v} \times \vec{w} = (1, -1, 1), perpendicular a los dos.)

c) El plano pasa por OO y su normal es n⃗=v⃗×w⃗=(1,−1,1)\vec{n} = \vec{v} \times \vec{w} = (1, -1, 1):π≡x−y+z=0\pi \equiv x - y + z = 0La recta perpendicular a π\pi por P(5,1,−1)P(5, 1, -1) tiene dirección n⃗\vec{n}:(x,y,z)=(5+λ, 1−λ, −1+λ)(x, y, z) = (5 + \lambda,\ 1 - \lambda,\ -1 + \lambda)Al sustituir en π\pi: (5+λ)−(1−λ)+(−1+λ)=3+3λ=0⇒λ=−1(5 + \lambda) - (1 - \lambda) + (-1 + \lambda) = 3 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -1. La proyección esP′=(4,2,−2)P' = (4, 2, -2)Comprobación: P′P' está en el plano (4−2−2=04 - 2 - 2 = 0 ✓) y P′P→=(1,−1,1)\overrightarrow{P'P} = (1, -1, 1) es paralelo a n⃗\vec{n} ✓.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

Para que un vector tenga un módulo dado, primero normaliza (divide entre su módulo) y luego multiplica por el módulo pedido. No olvides el signo: hay dos vectores con ese módulo y la condición de la tercera coordenada elige uno.

En b) piden «un» vector: da uno concreto y comprueba las dos condiciones. Tres vectores son independientes si su determinante no es cero.
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