Matemáticas IIDifícil2,5 pts

Límites y continuidad

También trata: Derivadas y aplicaciones · Integrales

Comunidad de Madrid · 2019 · Junio (coincidentes) · Opción A

Enunciado

Dada la función

f(x) = \begin{cases} 2\,\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi x^2}{2}\right) & \text{si } x \le 1, \\[2ex] \dfrac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} & \text{si } x > 1, \end{cases}

se pide:

a) (0,75 puntos) Estudiar la continuidad de

f(x)

x = 1

.

b) (0,75 puntos) Determinar, si existe,

f'(1)

.

c) (1 punto) Calcular el valor de

\displaystyle\int_0^1 x\,f(x)\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ f \text{ es continua en } x = 1 \qquad \text{b)}\ f'(1^-) = 0 \neq \tfrac{1}{2} = f'(1^+):\ \text{no existe } f'(1) \qquad \text{c)}\ \int_0^1 x f(x)\,dx = \frac{2}{\pi}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), límites laterales en

x = 1

. El de la derecha es

\frac{0}{0}

, pero se deshace en una línea con un truco:

x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)

, así que para

x > 1

la función es simplemente

\sqrt{x} + 1

.

En b), como

f

es continua en

1

, se comparan las derivadas laterales: la de la izquierda con la regla de la cadena y la de la derecha derivando

\sqrt{x} + 1

. Si no coinciden, no existe

f'(1)

.

En c), en

[0, 1]

manda el primer trozo y el integrando es

2x\operatorname{sen}\left(\frac{\pi x^2}{2}\right)

: aparece la derivada de lo de dentro del seno (salvo constante), señal de cambio de variable

u = \frac{\pi x^2}{2}

Desarrollo

a) Valor en el punto:

f(1) = 2\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\cdot 1 = 2

Por la izquierda: $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} 2\operatorname{sen}\left(\frac{\pi x^2}{2}\right) = 2\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2$ .
Por la derecha hay una indeterminación $\frac{0}{0}$ . Como $x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$ :

\lim_{x \to 1^+} \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1} = \lim_{x \to 1^+} \left(\sqrt{x} + 1\right) = 2

Los dos límites laterales valen

2 = f(1)

: $f$ es continua en $x = 1$ .

b) Para

x < 1

, por la regla de la cadena,

f'(x) = 2\cos\left(\frac{\pi x^2}{2}\right)\cdot \pi x

y para

x > 1

, como

f(x) = \sqrt{x} + 1

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Al ser

f

continua en

1

, las derivadas laterales son los límites de estas expresiones:

f'(1^-) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot\pi = 2\cdot 0\cdot\pi = 0, \qquad f'(1^+) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}

(Por la definición, desde la derecha:

\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^+}\frac{\sqrt{1+h} - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+}\frac{1}{\sqrt{1+h} + 1} = \frac{1}{2}

✓.)

Como

f'(1^-) = 0 \neq \frac{1}{2} = f'(1^+)

, no existe $f'(1)$ :

f

no es derivable en

x = 1

(la gráfica tiene un pico: llega horizontal por la izquierda y sale con pendiente

\frac{1}{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

c) En

[0, 1]

x \le 1

, así que

\int_0^1 x\,f(x)\,dx = \int_0^1 2x\operatorname{sen}\left(\frac{\pi x^2}{2}\right)dx

Cambio de variable

u = \dfrac{\pi x^2}{2}

du = \pi x\,dx

, de modo que

2x\,dx = \dfrac{2}{\pi}\,du

. Los límites cambian:

x = 0 \Rightarrow u = 0

x = 1 \Rightarrow u = \frac{\pi}{2}

\int_0^1 2x\operatorname{sen}\left(\frac{\pi x^2}{2}\right)dx = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}u\,du = \frac{2}{\pi}\Big[-\cos u\Big]_0^{\pi/2} = \frac{2}{\pi}\left(-\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0\right) = \frac{2}{\pi}

Equivalentemente, una primitiva es

F(x) = -\dfrac{2}{\pi}\cos\left(\dfrac{\pi x^2}{2}\right)

(su derivada es

-\frac{2}{\pi}\cdot\left(-\operatorname{sen}\frac{\pi x^2}{2}\right)\cdot\pi x = 2x\operatorname{sen}\frac{\pi x^2}{2}

✓), y por Barrow

F(1) - F(0) = 0 + \frac{2}{\pi}

\int_0^1 x\,f(x)\,dx = \frac{2}{\pi} \approx 0{,}6366

Consejo

Ante $\frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}$ , piensa en «suma por diferencia»: $x - 1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$ . Es más rápido que multiplicar por el conjugado o que L'Hôpital, y te da la función simplificada para el apartado b).

Para hablar de derivabilidad, comprueba antes la continuidad (sin ella no hay derivada) y calcula las dos derivadas laterales. En la integral, el $x$ que multiplica es la pista del cambio de variable; no olvides cambiar también los límites.