Matemáticas IIFácil2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2019 · Junio (coincidentes) · Opción A

Enunciado

La aerolínea «Air», para uno de sus vuelos, ha puesto a la venta

12

plazas de Clase Preferente (P), a

250

euros cada una,

36

plazas de Clase Turista (T), a

150

euros cada una, y

72

plazas de Clase Económica (E), a

100

euros cada una. Se sabe que ha vendido el

90\,\%

del total de las plazas, recaudando un importe de

13\,800

euros.

a) (0,25 puntos) Determine el número total de plazas vendidas.

b) (2,25 puntos) Sabiendo que se han vendido el triple de plazas de clase (T) que de clase (P), obtenga el número de billetes vendidos de cada clase y cuánto dinero se ha recaudado de cada clase.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ 108 \text{ plazas vendidas}}

\boxed{\text{b)}\ 10 \text{ (P)}: 2500 \text{ euros};\quad 30 \text{ (T)}: 4500 \text{ euros};\quad 68 \text{ (E)}: 6800 \text{ euros}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las incógnitas son los billetes vendidos de cada clase:

p

t

e

. Cada dato del enunciado da una ecuación: el total vendido (que se calcula en a)), la recaudación y la relación «el triple de T que de P». Es un sistema

3\times 3

que se resuelve por sustitución o por Gauss. Al final hay que comprobar que las soluciones tienen sentido: enteros, no negativos y sin pasar de las plazas que había de cada clase.

Desarrollo

a) En total hay

12 + 36 + 72 = 120

plazas. Se ha vendido el

90\,\%

0{,}9 \cdot 120 = 108 \text{ plazas vendidas}

b) Llamamos

p

t

e

al número de billetes vendidos de Preferente, Turista y Económica. Los datos dan

\begin{cases} p + t + e = 108 & \text{(plazas vendidas)} \\ 250p + 150t + 100e = 13\,800 & \text{(recaudación)} \\ t = 3p & \text{(triple de T que de P)} \end{cases}

Sustituimos

t = 3p

en las dos primeras:

\begin{cases} 4p + e = 108 \\ 250p + 450p + 100e = 13\,800 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} e = 108 - 4p \\ 700p + 100e = 13\,800 \end{cases}

y llevando

e

a la segunda:

700p + 100\,(108 - 4p) = 13\,800 \iff 700p + 10\,800 - 400p = 13\,800 \iff 300p = 3000 \iff p = 10

Entonces

t = 3\cdot 10 = 30

e = 108 - 40 = 68

.

Recaudación por clase:

Preferente: $10 \cdot 250 = 2500$ euros.
Turista: $30 \cdot 150 = 4500$ euros.
Económica: $68 \cdot 100 = 6800$ euros.

Comprobación:

10 + 30 + 68 = 108

✓ y

2500 + 4500 + 6800 = 13\,800

✓. Además las cifras tienen sentido:

10 \le 12

30 \le 36

68 \le 72

plazas disponibles.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Define las incógnitas con palabras (« $p$ = billetes vendidos de Preferente») antes de escribir ecuaciones: la corrección da 1,5 puntos solo por plantear bien el sistema.

No uses las plazas ofertadas ( $12$ , $36$ , $72$ ) como incógnitas: son el techo, no lo vendido. Sirven para comprobar al final que la solución es posible.