Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Una compañía farmacéutica vende un medicamento que alivia la dermatitis atópica en un 80 % de los casos. Si un enfermo es tratado con un placebo, la probabilidad de mejoría espontánea es del 10 %. En un estudio experimental, la mitad de los pacientes han sido tratados con el medicamento y la otra mitad con un placebo.

a) (1 punto) Determinar cuál es la probabilidad de que un paciente elegido al azar haya mejorado.

b) (1,5 puntos) Si un paciente elegido al azar ha mejorado, hallar la probabilidad de que haya sido tratado con el medicamento.

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(B) = 0{,}45}

\boxed{\text{b)}\ P(M \mid B) = \tfrac{8}{9} \approx 0{,}8889}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el esquema clásico de dos etapas: primero se decide el tratamiento (medicamento o placebo, mitad y mitad) y luego, según el tratamiento, el paciente mejora o no. Lo que da el enunciado son probabilidades condicionadas: el 80 % es

P(\text{mejora} \mid \text{medicamento})

y el 10 %,

P(\text{mejora} \mid \text{placebo})

.

En a) se pide una probabilidad "total" (sin saber el tratamiento): se suman las dos ramas del árbol que acaban en mejoría. En b) la información va al revés (sabemos que mejoró y preguntamos por el tratamiento): es el teorema de Bayes.

Desarrollo

Sucesos.

M

= "el paciente fue tratado con el medicamento",

\overline{M}

= "fue tratado con placebo" y

B

= "el paciente ha mejorado". Datos:

P(M) = P(\overline{M}) = 0{,}5, \qquad P(B \mid M) = 0{,}8, \qquad P(B \mid \overline{M}) = 0{,}1

M

\overline{M}

forman un sistema completo de sucesos: cada paciente recibe uno y solo uno de los dos tratamientos.

a) Por el teorema de la probabilidad total,

P(B) = P(M)\,P(B \mid M) + P(\overline{M})\,P(B \mid \overline{M}) = 0{,}5 \cdot 0{,}8 + 0{,}5 \cdot 0{,}1 = 0{,}4 + 0{,}05 = 0{,}45

b) Por el teorema de Bayes,

P(M \mid B) = \frac{P(M)\,P(B \mid M)}{P(B)} = \frac{0{,}4}{0{,}45} = \frac{8}{9} \approx 0{,}8889

Comprobación.

P(\overline{M} \mid B) = \frac{0{,}05}{0{,}45} = \frac{1}{9}

, y

\frac{8}{9} + \frac{1}{9} = 1

✓. Además el resultado es razonable: de cada 100 pacientes, 50 toman el medicamento y mejoran 40, y 50 toman placebo y mejoran 5; de los 45 que mejoran, 40 tomaron el medicamento, es decir,

\frac{40}{45} = \frac{8}{9}

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Consejo

Lo que más se valora (0,5 puntos en a) y 1 punto en b)) es identificar bien las probabilidades: el 80 % y el 10 % son condicionadas al tratamiento, no probabilidades de intersección. Define los sucesos con letras antes de operar.

En b) no confundas $P(M \mid B)$ con $P(B \mid M) = 0{,}8$ : el orden de la barra importa.