Áreas, volúmenes y distancias

a) Escribimos el plano como $2x + 3y + 4z - 36 = 0$, con $\vec{n} = (2, 3, 4)$ y $|\vec{n}| = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$:$$d(A, \pi) = \frac{|2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 - 36|}{\sqrt{29}} = \frac{|-29|}{\sqrt{29}} = \frac{29}{\sqrt{29}} = \sqrt{29} \approx 5{,}39 \ \text{u}$$b) La recta $s$ que pasa por $A$ y es perpendicular a $\pi$ tiene director $\vec{n}$:$$s \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 2 + 2\lambda \\ y = 1 + 3\lambda \\ z = 4\lambda \end{array}\right.$$Sustituyendo en el plano:$$2(2 + 2\lambda) + 3(1 + 3\lambda) + 4(4\lambda) = 36 \;\Longrightarrow\; 7 + 29\lambda = 36 \;\Longrightarrow\; \lambda = 1$$El punto del plano más próximo a $A$ es$$M = (2 + 2,\ 1 + 3,\ 4) = (4,\ 4,\ 4)$$Es el más próximo porque, para cualquier otro punto $Q$ del plano, el triángulo $AMQ$ es rectángulo en $M$ y la hipotenusa $AQ$ es mayor que el cateto $AM$.

Comprobación. $M \in \pi$: $8 + 12 + 16 = 36$ ✓. $\overrightarrow{AM} = (2, 3, 4) = \vec{n}$, perpendicular al plano ✓, y $|\overrightarrow{AM}| = \sqrt{29}$, la distancia de a) ✓.

c) $M$ es el punto medio de $A$ y su simétrico $A'(x, y, z)$:$$\left(\frac{2 + x}{2},\ \frac{1 + y}{2},\ \frac{0 + z}{2}\right) = (4,\ 4,\ 4) \;\Longrightarrow\; x = 6,\quad y = 7,\quad z = 8$$$$A' = (6,\ 7,\ 8)$$(Equivale a avanzar desde $A$ el doble que hasta el plano: $\lambda = 2$ en la recta $s$.)

Comprobación. $A'$ está al otro lado del plano: $12 + 21 + 32 - 36 = 29 > 0$, mientras que en $A$ salía $-29$; y $d(A', \pi) = \frac{29}{\sqrt{29}} = \sqrt{29}$, la misma distancia ✓.