Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Límites y continuidad

Comunidad de Madrid · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Dada la función

f(x) = \sqrt{4x^2 - x^4}

, se pide:

a) (0,5 puntos) Determinar su dominio.

b) (1,5 puntos) Determinar sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

c) (0,5 puntos) Calcular los límites laterales

\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)}{x}

\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ \operatorname{Dom} f = [-2,\ 2]}

\boxed{\text{b) Crece en } (-2, -\sqrt{2}) \cup (0, \sqrt{2});\ \text{decrece en } (-\sqrt{2}, 0) \cup (\sqrt{2}, 2)}

\boxed{\text{c)}\ \lim_{x\to 0^-} \tfrac{f(x)}{x} = -2,\quad \lim_{x\to 0^+} \tfrac{f(x)}{x} = 2}

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Estrategia

Todo sale de una factorización:

4x^2 - x^4 = x^2(4 - x^2)

. Con ella:

En a) la raíz exige radicando no negativo; como $x^2 \ge 0$ siempre, basta con que $4 - x^2 \ge 0$ .
En b) derivamos con la regla de la cadena, buscamos dónde se anula $f'$ y estudiamos su signo en cada trozo del dominio. Hay que tener presente que $\sqrt{x^2} = |x|$ , no $x$ : eso hace que el signo cambie al pasar por $x = 0$ .
En c), otra vez $\sqrt{x^2} = |x|$ : al dividir entre $x$ queda $\frac{|x|}{x}$ , que vale $-1$ a la izquierda de 0 y $1$ a la derecha. Los dos límites salen distintos, y eso explica qué pasa con $f$ en $x = 0$ .

Desarrollo

a) El radicando debe ser mayor o igual que cero:

4x^2 - x^4 = x^2\,(4 - x^2) \ge 0

Como

x^2 \ge 0

para todo

x

, la desigualdad se cumple si

x = 0

o si

4 - x^2 \ge 0

, es decir,

x^2 \le 4 \iff -2 \le x \le 2

(que ya incluye

x = 0

\operatorname{Dom} f = [-2,\ 2]

b) En el interior del dominio donde el radicando es positivo,

(-2, 0) \cup (0, 2)

, la función es derivable:

f'(x) = \frac{8x - 4x^3}{2\sqrt{4x^2 - x^4}} = \frac{2x\,(2 - x^2)}{\sqrt{x^2(4 - x^2)}} = \frac{2x\,(2 - x^2)}{|x|\,\sqrt{4 - x^2}}

x = 0

y en

x = \pm 2

el denominador se anula y

f

no es derivable (en c) se ve que en

x = 0

las derivadas laterales valen

-2

2

).

Puntos críticos.

f'(x) = 0 \iff 2 - x^2 = 0 \iff x = \pm\sqrt{2}

(el factor

x

se simplifica con

|x|

, pues

x \neq 0

).

Signo de $f'$ . El denominador es positivo, y

\frac{x}{|x|}

vale

-1

x < 0

1

x > 0

. Así, el signo de

f'

es el de

\frac{x}{|x|}\,(2 - x^2)

	$(-2, -\sqrt{2})$	$(-\sqrt{2}, 0)$	$(0, \sqrt{2})$	$(\sqrt{2}, 2)$
$\frac{x}{\vert x\vert}$	$-$	$-$	$+$	$+$
$2 - x^2$	$-$	$+$	$+$	$-$
$f'(x)$	$+$	$-$	$+$	$-$
$f$	crece	decrece	crece	decrece

Por tanto:

$f$ es creciente en $(-2,\ -\sqrt{2}) \cup (0,\ \sqrt{2})$ .
$f$ es decreciente en $(-\sqrt{2},\ 0) \cup (\sqrt{2},\ 2)$ .

Como información adicional: en

x = \pm\sqrt{2}

hay máximos (absolutos), con

f(\pm\sqrt{2}) = \sqrt{8 - 4} = 2

, y en

x = 0

un mínimo,

f(0) = 0

, en el que la gráfica tiene un pico (no es derivable).

c) Usando

\sqrt{x^2} = |x|

\frac{f(x)}{x} = \frac{|x|\,\sqrt{4 - x^2}}{x}

Si $x < 0$ , $|x| = -x$ y $\dfrac{f(x)}{x} = -\sqrt{4 - x^2}$ , así que $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)}{x} = -\sqrt{4} = -2$ .
Si $x > 0$ , $|x| = x$ y $\dfrac{f(x)}{x} = \sqrt{4 - x^2}$ , así que $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = \sqrt{4} = 2$ .

Como

f(0) = 0

, estos límites son las derivadas laterales de

f

0

\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}

: son distintas y por eso

f

no es derivable en

x = 0

.

Comprobación.

f(-1) = \sqrt{3} \approx 1{,}73

f(-\sqrt{2}) = 2

f(-1{,}9) = \sqrt{14{,}44 - 13{,}03} \approx 1{,}19

: sube hasta

-\sqrt{2}

y luego baja hacia 0, de acuerdo con la tabla.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El fallo típico es escribir $\sqrt{x^2(4 - x^2)} = x\sqrt{4 - x^2}$ : sin el valor absoluto el signo de $f'$ sale mal en $(-2, 0)$ y en c) los dos límites salen iguales.

En b) la corrección pide estudiar los cuatro intervalos. Un error frecuente es tomar solo $x = \pm\sqrt{2}$ como puntos de corte y olvidar $x = 0$ , donde $f'$ no existe.