Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Una estudiante pidió en la cafetería 3 bocadillos, 2 refrescos y 2 bolsas de patatas y pagó un total de 19 euros. Al mirar la cuenta comprobó que le habían cobrado un bocadillo y una bolsa de patatas de más. Reclamó y le devolvieron 4 euros.

Para compensar el error, el vendedor le ofreció llevarse un bocadillo y un refresco por solo 3 euros, lo que suponía un descuento del 40 % respecto a sus precios originales. ¿Cuáles eran los respectivos precios sin descuento de un bocadillo, de un refresco y de una bolsa de patatas?

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Resultado

\boxed{\text{Bocadillo: } 3 \text{ euros};\quad \text{refresco: } 2 \text{ euros};\quad \text{bolsa de patatas: } 1 \text{ euro}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamamos

x

y

z

a los precios (en euros) de un bocadillo, un refresco y una bolsa de patatas, y traducimos cada frase en una ecuación. La clave está en leer bien la primera: los 19 euros no son el precio de lo que pidió, sino de lo que le cobraron, que era un bocadillo y una bolsa más de lo pedido, es decir, 4 bocadillos, 2 refrescos y 3 bolsas. La devolución de 4 euros es justo el precio de ese bocadillo y esa bolsa de más.

El descuento del 40 % significa que pagar 3 euros es pagar el 60 % del precio original del bocadillo más el refresco. Con las tres ecuaciones, un sistema

3 \times 3

que se resuelve por sustitución o por Gauss.

Desarrollo

Planteamiento. Sean

x

y

z

los precios sin descuento, en euros, de un bocadillo, un refresco y una bolsa de patatas.

Le cobraron 4 bocadillos, 2 refrescos y 3 bolsas (lo pedido más un bocadillo y una bolsa) y pagó 19 euros: $4x + 2y + 3z = 19$ .
Le devolvieron el bocadillo y la bolsa cobrados de más: $x + z = 4$ .
Un bocadillo y un refresco con un 40 % de descuento cuestan 3 euros: $0{,}6\,(x + y) = 3$ , es decir, $x + y = 5$ .

\left\{\begin{array}{l} 4x + 2y + 3z = 19 \\ x + z = 4 \\ x + y = 5 \end{array}\right.

(Restando la segunda ecuación de la primera se obtiene

3x + 2y + 2z = 15

: lo que de verdad le costó lo que pidió. Se puede usar esta ecuación en lugar de la primera.)

Resolución. De la segunda y la tercera,

z = 4 - x

y = 5 - x

. Sustituyendo en la primera:

4x + 2(5 - x) + 3(4 - x) = 19 \;\Longrightarrow\; 4x + 10 - 2x + 12 - 3x = 19 \;\Longrightarrow\; 22 - x = 19 \;\Longrightarrow\; x = 3

y = 5 - 3 = 2, \qquad z = 4 - 3 = 1

El determinante de la matriz de coeficientes es

\begin{vmatrix} 4 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 4\,(0 - 1) - 2\,(0 - 1) + 3\,(1 - 0) = -4 + 2 + 3 = 1 \neq 0

así que el sistema es compatible determinado y esta es la única solución.

Comprobación. Cobrado:

4 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 12 + 4 + 3 = 19

euros ✓. Devolución:

3 + 1 = 4

euros ✓. Lo que pidió de verdad:

3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 15 = 19 - 4

euros ✓. Oferta: bocadillo y refresco valen

3 + 2 = 5

euros y pagar 3 es pagar el 60 %, un descuento del 40 % ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error típico es escribir $3x + 2y + 2z = 19$ : los 19 euros incluyen el bocadillo y la bolsa cobrados de más. Con esa ecuación sale $x = -1$ , un precio negativo, que ya avisa de que algo se ha leído mal. Comprueba siempre que la solución tiene sentido en el contexto.

Los criterios dan 1,5 puntos al planteamiento (0,5 por ecuación) y 0,5 a interpretar la solución: define las incógnitas con sus unidades y responde con los tres precios.