Probabilidad

a) Sea $X$ = número de peces, de los 10, que siguen vivos a los 5 años. Entonces $X \sim B(10;\ 0{,}1)$ y$$P(X = k) = \binom{10}{k}\,0{,}1^k\,0{,}9^{10-k}$$$$P(X = 0) = 0{,}9^{10} = 0{,}3486784401$$$$P(X = 1) = \binom{10}{1}\cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{9} = 10 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}387420489 = 0{,}387420489$$$$P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0{,}3486784401 - 0{,}387420489 = 0{,}2639010709$$$$P(X \ge 2) \approx 0{,}2639$$b) Sea $Y$ = número de peces, de los 200, que sobreviven. $Y \sim B(200;\ 0{,}1)$, con$$\mu = np = 200 \cdot 0{,}1 = 20, \qquad \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{200 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9} = \sqrt{18} \approx 4{,}2426$$La aproximación es aceptable porque $np = 20 \ge 5$ y $nq = 180 \ge 5$. Tomamos $Y' \sim N(20;\ \sqrt{18})$ y, con la corrección de continuidad,$$P(Y \ge 10) \approx P(Y' \ge 9{,}5) = P\left(Z \ge \frac{9{,}5 - 20}{\sqrt{18}}\right) = P(Z \ge -2{,}47)$$Por la simetría de la normal,$$P(Z \ge -2{,}47) = P(Z \le 2{,}47) = 0{,}9932$$La probabilidad de que sobrevivan al menos 10 peces es aproximadamente $0{,}9932$.

Comprobaciones. Tiene sentido que sea casi segura: se esperan 20 supervivientes y 10 está a unas $2{,}5$ desviaciones típicas por debajo. Sin la corrección de continuidad saldría $P\left(Z \ge \frac{10 - 20}{\sqrt{18}}\right) = P(Z \ge -2{,}36) = 0{,}9909$, un valor muy parecido; la binomial exacta (con ordenador) da $0{,}9965$.