Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Comunidad de Madrid · 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

Dadas la recta

r \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-3}{-2} = z

y la recta

s

que pasa por el punto

(2, -5, 1)

y tiene dirección

(-1, 0, -1)

, se pide:

a) (1 punto) Estudiar la posición relativa de las dos rectas.

b) (1 punto) Calcular un plano que sea paralelo a

r

y contenga a

s

.

c) (0,5 puntos) Calcular un plano perpendicular a la recta

r

y que pase por el origen de coordenadas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ r \text{ y } s \text{ se cruzan}}

\boxed{\text{b)}\ \pi \equiv 2x + y - 2z + 3 = 0}

\boxed{\text{c)}\ \sigma \equiv 2x - 2y + z = 0}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es sacar de cada recta un punto y un vector director. En la continua de

r

hay que fijarse en que "

= z

" es lo mismo que "

\frac{z - 0}{1}

".

En a) comparamos los directores: si no son proporcionales, las rectas se cortan o se cruzan, y lo decide el producto mixto de los dos directores con el vector que une un punto de cada recta (cero: coplanarias, se cortan; distinto de cero: se cruzan).

En b) el plano contiene a

s

(un punto y una dirección) y es paralelo a

r

(otra dirección): su normal es el producto vectorial de los dos directores.

En c), un plano perpendicular a

r

tiene como vector normal el director de

r

; solo falta imponer que pase por el origen.

Desarrollo

Datos.

P_r = (1,\ 3,\ 0), \quad \vec{u} = (2,\ -2,\ 1); \qquad P_s = (2,\ -5,\ 1), \quad \vec{v} = (-1,\ 0,\ -1)

a) Los directores no son proporcionales:

\vec{v}

tiene la segunda coordenada nula y

\vec{u}

no. Luego las rectas no son paralelas ni coincidentes. Con

\overrightarrow{P_rP_s} = (1,\ -8,\ 1)

\bigl[\vec{u},\ \vec{v},\ \overrightarrow{P_rP_s}\bigr] = \begin{vmatrix} 2 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & -8 & 1 \end{vmatrix} = 2\,(0 - 8) + 2\,(-1 + 1) + 1\,(8 - 0) = -16 + 0 + 8 = -8 \neq 0

Los tres vectores no son coplanarios: las rectas se cruzan.

Dicho con rangos:

\operatorname{rg}(\vec{u}, \vec{v}) = 2

\operatorname{rg}(\vec{u}, \vec{v}, \overrightarrow{P_rP_s}) = 3

.

b) El plano

\pi

contiene a

s

, así que pasa por

P_s

y tiene la dirección

\vec{v}

; es paralelo a

r

, así que tiene también la dirección

\vec{u}

. Su normal:

\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (2 - 0)\,\vec{i} - (-2 + 1)\,\vec{j} + (0 - 2)\,\vec{k} = (2,\ 1,\ -2)

Por el punto

P_s(2, -5, 1)

2(x - 2) + (y + 5) - 2(z - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 2x + y - 2z + 3 = 0

Comprobaciones.

P_s

4 - 5 - 2 + 3 = 0

✓.

\vec{n}\cdot\vec{v} = -2 + 0 + 2 = 0

✓ y

\vec{n}\cdot\vec{u} = 4 - 2 - 2 = 0

✓. Además

P_r(1,3,0)

2 + 3 - 0 + 3 = 8 \neq 0

, así que

r

es paralela a

\pi

sin estar contenida en él (como debe ser, porque

r

s

se cruzan).

c) Si el plano

\sigma

es perpendicular a

r

, su vector normal es

\vec{u} = (2, -2, 1)

\sigma \equiv 2x - 2y + z + D = 0

Pasa por el origen, luego

D = 0

\sigma \equiv 2x - 2y + z = 0

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuidado al leer $r$ : el " $= z$ " final esconde un punto con $z = 0$ y un director con tercera coordenada 1. Equivocarse ahí arrastra el error a los tres apartados.

En a) el producto mixto no nulo ya basta para "se cruzan", pero conviene decir antes que los directores no son paralelos: es parte de la justificación que se puntúa.