Derivadas y aplicaciones

a) Es una indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$; por L'Hôpital,$$\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{1/x}{1} = 0$$Luego la recta $y = 0$ es asíntota horizontal de la curva cuando $x \to +\infty$. Hacia $-\infty$ no tiene sentido estudiar nada, porque la función solo está definida para $x > 0$.

b) Derivamos con la regla del cociente:$$f'(x) = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$La tangente es horizontal donde $f'(x) = 0$:$$1 - \ln x = 0 \;\Longrightarrow\; \ln x = 1 \;\Longrightarrow\; x = e, \qquad f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}$$El punto es $\left(e,\ \frac{1}{e}\right)$. Para ver si es extremo, estudiamos el signo de $f'$: el denominador $x^2$ es positivo, así que manda $1 - \ln x$.

• Si $0 < x < e$: $\ln x < 1$, luego $f'(x) > 0$ y $f$ es creciente.
• Si $x > e$: $\ln x > 1$, luego $f'(x) < 0$ y $f$ es decreciente.

La función pasa de crecer a decrecer en $x = e$: hay un máximo relativo en $\left(e,\ \frac{1}{e}\right)$.

c) Cortes con $y = 0$: $\frac{\ln x}{x} = 0 \iff \ln x = 0 \iff x = 1$. En $[1, e]$ es $\ln x \ge 0$ y $x > 0$, luego $f(x) \ge 0$: la curva va por encima del eje. El recinto acotado limitado por la curva, el eje $X$ y la recta $x = e$ es el comprendido entre $x = 1$ y $x = e$ (en $(0,1)$ la curva baja a $-\infty$, y ese trozo no queda cerrado).$$\text{Área} = \int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx$$Una primitiva: con $t = \ln x$, $dt = \frac{1}{x}\,dx$,$$\int \frac{\ln x}{x}\,dx = \int t\,dt = \frac{t^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$$Por la regla de Barrow,$$\text{Área} = \left[\frac{(\ln x)^2}{2}\right]_1^e = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}\ \text{u}^2$$Comprobación. Derivando la primitiva: $\frac{d}{dx}\frac{(\ln x)^2}{2} = \ln x \cdot \frac{1}{x}$ ✓. Y el valor es razonable: la función vale como mucho $\frac{1}{e} \approx 0{,}37$ en un intervalo de longitud $e - 1 \approx 1{,}72$, lo que acota el área por $0{,}63$.