Determinantes

a) Llamemos $C_1, C_2, C_3, C_4$ a las columnas de $A$. Observamos que$$C_3 - C_2 = \begin{pmatrix} 4-3 \\ 2-a \\ a-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2-a \\ a-2 \end{pmatrix} = C_4$$para cualquier valor de $a$. Como $C_4$ es combinación lineal de $C_2$ y $C_3$, el rango de $A$ coincide con el rango de la matriz formada por las tres primeras columnas. Su determinante, desarrollando por la primera fila, es$$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & a & 2 \\ -1 & 2 & a \end{vmatrix} = 1\,(a^2 - 4) - 3\,(a + 2) + 4\,(2 + a) = a^2 + a - 2 = (a-1)(a+2)$$Se anula para $a = 1$ y $a = -2$. (Los otros tres menores de orden 3 dan lo mismo o cero, precisamente por la relación $C_4 = C_3 - C_2$.)

• Si $a \neq 1$ y $a \neq -2$: hay un menor de orden 3 no nulo, luego $\operatorname{rg}(A) = 3$.

• Si $a = 1$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$Todos los menores de orden 3 son nulos (los de las columnas $C_1C_2C_3$ por el cálculo anterior y los demás porque $C_4 = C_3 - C_2$), pero el menor $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 3 = -2 \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$.

• Si $a = -2$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & -2 & -4 \end{pmatrix}$$La tercera fila es la segunda cambiada de signo, de modo que no hay menores de orden 3 no nulos, y $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 3 = -5 \neq 0$. Por tanto $\operatorname{rg}(A) = 2$.

b) Para $a = 0$,$$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$$A$ es $3\times 4$ y $M$ es $4\times 3$, así que el producto existe y es $3\times 3$. Cada columna de $M$ es un vector de la base que "recoge" una columna de $A$: la 1.ª, la 2.ª y la 4.ª.$$AM = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$$Su determinante:$$|AM| = 1\,(0 - 4) - 3\,(-2 + 2) + 1\,(2 - 0) = -4 - 0 + 2 = -2 \neq 0$$luego $AM$ es invertible. Los adjuntos de cada elemento son$$\begin{array}{lll} \alpha_{11} = -4, & \alpha_{12} = 0, & \alpha_{13} = 2, \\ \alpha_{21} = 8, & \alpha_{22} = -1, & \alpha_{23} = -5, \\ \alpha_{31} = 6, & \alpha_{32} = -1, & \alpha_{33} = -3. \end{array}$$Por ejemplo, $\alpha_{21} = -\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -(-6 - 2) = 8$ y $\alpha_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -2 + 1 = -1$. La matriz adjunta traspuesta, dividida entre el determinante, da la inversa:$$(AM)^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -4 & 8 & 6 \\ 0 & -1 & -1 \\ 2 & -5 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 & -3 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -1 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$$Comprobación. Primera fila de $AM$ por cada columna de la inversa: $2 + 0 - 1 = 1$, $-4 + \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 0$, $-3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0$. Segunda fila: $2 + 0 - 2 = 0$, $-4 + 0 + 5 = 1$, $-3 + 0 + 3 = 0$. Tercera fila: $-2 + 0 + 2 = 0$, $4 + 1 - 5 = 0$, $3 + 1 - 3 = 1$. Sale la identidad.