Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2019 · Julio · Opción B

Enunciado

Un concesionario dispone de vehículos de baja y alta gama, siendo los de alta gama 1/3 de las existencias. Entre los de baja gama, la probabilidad de tener un defecto de fabricación que obligue a revisarlos durante el rodaje es del 1,6 %, mientras que para los de alta gama es del 0,9 %. En un control de calidad preventa, se elige al azar un vehículo para examinarlo.

a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que el vehículo elegido resulte defectuoso.

b) (1,5 puntos) Si se comprueba que el vehículo elegido es defectuoso, calcule la probabilidad de que sea de gama baja.

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(D) = \frac{2}{3}\cdot 0{,}016 + \frac{1}{3}\cdot 0{,}009 = \frac{41}{3000} \approx 0{,}0137}

\boxed{\text{b)}\ P(B \mid D) = \frac{32}{41} \approx 0{,}7805}

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Estrategia

Es el esquema clásico de probabilidad total y Bayes. La gama del vehículo (baja o alta) forma una partición del espacio muestral, y de cada gama conocemos la probabilidad de que el coche sea defectuoso, es decir, probabilidades condicionadas

P(D \mid \text{gama})

.

En a) sumamos las dos ramas del árbol que acaban en "defectuoso" (probabilidad total). En b) nos preguntan al revés: sabiendo que es defectuoso, ¿de qué gama es? Eso es el teorema de Bayes: la rama de gama baja dividida entre el total de a).

Desarrollo

Sucesos:

B

= "el vehículo es de gama baja",

A

= "es de gama alta" y

D

= "es defectuoso". Datos:

P(A) = \frac{1}{3}, \qquad P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}, \qquad P(D \mid B) = 0{,}016, \qquad P(D \mid A) = 0{,}009

Diagrama de árbol:

Gama baja $\left(\tfrac{2}{3}\right)$ : defectuoso $0{,}016$ ; sin defecto $0{,}984$ .
Gama alta $\left(\tfrac{1}{3}\right)$ : defectuoso $0{,}009$ ; sin defecto $0{,}991$ .

B

A

forman una partición, así que por el teorema de la probabilidad total:

P(D) = P(B)\,P(D \mid B) + P(A)\,P(D \mid A) = \frac{2}{3}\cdot 0{,}016 + \frac{1}{3}\cdot 0{,}009 = \frac{0{,}032 + 0{,}009}{3} = \frac{0{,}041}{3}

P(D) = \frac{41}{3000} \approx 0{,}0137

b) Por el teorema de Bayes:

P(B \mid D) = \frac{P(B)\,P(D \mid B)}{P(D)} = \frac{\tfrac{2}{3}\cdot 0{,}016}{\tfrac{0{,}041}{3}} = \frac{0{,}032}{0{,}041} = \frac{32}{41} \approx 0{,}7805

Comprobación:

P(A \mid D) = \dfrac{0{,}009}{0{,}041} = \dfrac{9}{41}

\dfrac{32}{41} + \dfrac{9}{41} = 1

✓. Además tiene sentido que sea mayor que

P(B) = \tfrac{2}{3} \approx 0{,}67

: los de gama baja fallan más, así que saber que el coche es defectuoso hace más probable que sea de gama baja.

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Consejo

Los porcentajes del enunciado son probabilidades condicionadas ("entre los de baja gama…"): escríbelas como $P(D \mid B)$ , no como $P(D \cap B)$ . Confundirlas es el fallo que más penaliza en la corrección.

Trabaja con $\tfrac{1}{3}$ y $\tfrac{2}{3}$ en forma de fracción hasta el final: redondear a $0{,}33$ y $0{,}67$ al principio arrastra error y no da $\tfrac{32}{41}$ exacto.