Rectas y planos

a) El vector normal de $\pi$ es $\vec{n} = (2, 3, -1)$. Primero, $P$ no está en $\pi$: $2 + 6 - 3 = 5 \neq 4$.

Recta perpendicular a $\pi$ por $P$:$$(x, y, z) = (1 + 2\mu,\ 2 + 3\mu,\ 3 - \mu)$$La cortamos con $\pi$:$$2(1 + 2\mu) + 3(2 + 3\mu) - (3 - \mu) = 4 \;\Longrightarrow\; 5 + 14\mu = 4 \;\Longrightarrow\; \mu = -\frac{1}{14}$$La proyección de $P$ sobre $\pi$ es$$M = \left(1 - \frac{2}{14},\ 2 - \frac{3}{14},\ 3 + \frac{1}{14}\right) = \left(\frac{6}{7},\ \frac{25}{14},\ \frac{43}{14}\right)$$Como $M$ es el punto medio de $P$ y $P'$, $P' = 2M - P$:$$P' = \left(\frac{12}{7} - 1,\ \frac{25}{7} - 2,\ \frac{43}{7} - 3\right) = \left(\frac{5}{7},\ \frac{11}{7},\ \frac{22}{7}\right)$$(Equivale a tomar $\mu = 2\cdot\left(-\tfrac{1}{14}\right) = -\tfrac{1}{7}$ en la recta.)

Comprobación: $\overrightarrow{PP'} = \left(-\tfrac{2}{7}, -\tfrac{3}{7}, \tfrac{1}{7}\right) = -\tfrac{1}{7}(2, 3, -1)$, paralelo a $\vec{n}$ ✓. Y las distancias al plano coinciden: para $P$, $\dfrac{|5 - 4|}{\sqrt{14}} = \dfrac{1}{\sqrt{14}}$; para $P'$, $2\cdot\tfrac{5}{7} + 3\cdot\tfrac{11}{7} - \tfrac{22}{7} = \tfrac{21}{7} = 3$, y $\dfrac{|3 - 4|}{\sqrt{14}} = \dfrac{1}{\sqrt{14}}$ ✓.

b) Un punto genérico de $s$ es $(1 + \lambda,\ 2,\ 3 + \lambda)$. Lo sustituimos en las ecuaciones de $r$:$$x + y - z = (1 + \lambda) + 2 - (3 + \lambda) = 0 \quad\text{(se cumple para todo } \lambda\text{)}$$$$x + y + z = (1 + \lambda) + 2 + (3 + \lambda) = 6 + 2\lambda = 2 \;\Longrightarrow\; \lambda = -2$$El punto de corte es $Q = (1 - 2,\ 2,\ 3 - 2) = (-1,\ 2,\ 1)$. Comprobación en $r$: $-1 + 2 - 1 = 0$ ✓ y $-1 + 2 + 1 = 2$ ✓.

(La primera ecuación se cumple siempre porque $s$ está contenida en el plano $x + y - z = 0$; por eso hay un único punto común.)

La recta pedida pasa por $Q$ y tiene la dirección de $\vec{n} = (2, 3, -1)$:$$t \equiv (x, y, z) = (-1, 2, 1) + \mu(2, 3, -1), \qquad\text{o bien}\qquad \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 1}{-1}$$c) Vector director de $r$, producto vectorial de las normales de sus dos planos:$$\vec{u}_r = (1, 1, -1)\times(1, 1, 1) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 1)\,\vec{i} - (1 + 1)\,\vec{j} + (1 - 1)\,\vec{k} = (2, -2, 0)$$Tomamos $\vec{u}_r = (1, -1, 0)$. El de $s$ es $\vec{u}_s = (1, 0, 1)$. Entonces$$\cos\alpha = \frac{|\vec{u}_r\cdot\vec{u}_s|}{|\vec{u}_r|\,|\vec{u}_s|} = \frac{|1 + 0 + 0|}{\sqrt{2}\,\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; \alpha = 60^{\circ}$$