Integrales

a) Desarrollamos $F'(t) = 10t^2 - t^3$ e integramos:$$F(t) = \int \bigl(10t^2 - t^3\bigr)\, dt = \frac{10t^3}{3} - \frac{t^4}{4} + C$$Como al principio había 6 enfermos, $F(0) = 6$:$$F(0) = 0 - 0 + C = 6 \;\Longrightarrow\; C = 6$$$$F(t) = \frac{10t^3}{3} - \frac{t^4}{4} + 6, \qquad t \geq 0$$b) Puntos críticos:$$F'(t) = t^2(10 - t) = 0 \;\Longrightarrow\; t = 0 \ \text{ o } \ t = 10$$Signo de $F'$ para $t \geq 0$: el factor $t^2$ es siempre $\geq 0$, así que el signo lo decide $10 - t$:

• En $(0, 10)$: $F'(t) > 0$, $F$ es creciente.
• En $(10, +\infty)$: $F'(t) < 0$, $F$ es decreciente.

En $t = 0$ la derivada no cambia de signo (no hay extremo; es simplemente el instante inicial). En $t = 10$ pasa de positiva a negativa: hay un máximo, y como $F$ crece en todo $[0, 10]$ y decrece después, es el máximo absoluto para $t \geq 0$. Su valor:$$F(10) = \frac{10\cdot 1000}{3} - \frac{10\,000}{4} + 6 = \frac{10\,000}{3} - 2500 + 6 = \frac{2500}{3} + 6 = \frac{2518}{3} \approx 839{,}33$$El máximo se alcanza a los 10 días, con unos 839 enfermos.

c) El brote termina cuando el número de enfermos llega a cero, $F(t) = 0$. Para $t \in [0, 10]$ no ocurre, porque $F$ crece desde $F(0) = 6 > 0$. Para $t > 10$, $F$ es estrictamente decreciente, así que como mucho hay una raíz. Probamos días enteros:$$F(13) = \frac{21\,970}{3} - \frac{28\,561}{4} + 6 = \frac{87\,880 - 85\,683 + 72}{12} = \frac{2269}{12} \approx 189{,}1 > 0$$$$F(14) = \frac{27\,440}{3} - \frac{38\,416}{4} + 6 = \frac{109\,760 - 115\,248 + 72}{12} = -\frac{5416}{12} \approx -451{,}3 < 0$$$F$ es un polinomio, luego continua en $[13, 14]$, y $F(13)$ y $F(14)$ tienen signos opuestos. Por el teorema de Bolzano existe $c \in (13, 14)$ con $F(c) = 0$, y por la monotonía es la única raíz para $t > 0$.

El brote dura entre 13 y 14 días: al terminar el día 14 ya no quedan enfermos. (Numéricamente, $c \approx 13{,}34$.)