Matrices

a) Calculamos el cuadrado:$$A^2 = \begin{pmatrix} 1-a & 1 \\ 1 & 1+a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1-a & 1 \\ 1 & 1+a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1-a)^2 + 1 & (1-a) + (1+a) \\ (1-a) + (1+a) & 1 + (1+a)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 - 2a + 2 & 2 \\ 2 & a^2 + 2a + 2 \end{pmatrix}$$$$A^2 - I = \begin{pmatrix} a^2 - 2a + 1 & 2 \\ 2 & a^2 + 2a + 1 \end{pmatrix}, \qquad 2A = \begin{pmatrix} 2 - 2a & 2 \\ 2 & 2 + 2a \end{pmatrix}$$Los elementos de fuera de la diagonal coinciden siempre ($2 = 2$). Igualando la diagonal:$$a^2 - 2a + 1 = 2 - 2a \;\Longrightarrow\; a^2 = 1$$$$a^2 + 2a + 1 = 2 + 2a \;\Longrightarrow\; a^2 = 1$$Las dos ecuaciones dan lo mismo, así que la igualdad se cumple para$$a = 1 \quad\text{o}\quad a = -1$$Comprobación con $a = 1$: $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$, $A^2 - I = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 2A$ ✓.

b) El determinante es$$|A| = (1-a)(1+a) - 1\cdot 1 = 1 - a^2 - 1 = -a^2$$$A$ tiene inversa si y solo si $|A| \neq 0$, es decir, si y solo si $a \neq 0$.

Para una matriz $2\times 2$, la inversa es $\dfrac{1}{|A|}$ por la matriz que resulta de intercambiar los elementos de la diagonal principal y cambiar de signo los de la otra (la adjunta traspuesta):$$A^{-1} = \frac{1}{-a^2}\begin{pmatrix} 1+a & -1 \\ -1 & 1-a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{1+a}{a^2} & \dfrac{1}{a^2} \\[2mm] \dfrac{1}{a^2} & \dfrac{a-1}{a^2} \end{pmatrix}, \qquad a \neq 0$$Comprobación (primera fila de $A\,A^{-1}$, sin el factor $\tfrac{1}{-a^2}$): $(1-a)(1+a) + 1\cdot(-1) = -a^2$ y $(1-a)(-1) + 1\cdot(1-a) = 0$; al dividir entre $-a^2$ queda $(1,\ 0)$ ✓. La segunda fila da $1\cdot(1+a) + (1+a)(-1) = 0$ y $-1 + (1+a)(1-a) = -a^2$, es decir, $(0,\ 1)$ ✓.

c) Por las propiedades de los determinantes, $|A^t| = |A|$ y $|MN| = |M|\,|N|$:$$\bigl|(AA^t)^2\bigr| = |AA^t|^2 = \bigl(|A|\,|A^t|\bigr)^2 = \bigl(|A|^2\bigr)^2 = |A|^4 = (-a^2)^4 = a^8$$(De hecho, $A$ es simétrica, $A^t = A$, así que $(AA^t)^2 = A^4$, y el resultado es el mismo.)