Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Probabilidad

También trata: Distribución normal

Comunidad de Madrid · 2019 · Julio · Opción A

Enunciado

Una empresa ha llevado a cabo un proceso de selección de personal.

a) (1,25 puntos) Se sabe que el 40 % del total de aspirantes han sido seleccionados en el proceso. Si entre los aspirantes había un grupo de 8 amigos, calcule la probabilidad de que al menos 2 de ellos hayan sido seleccionados.

b) (1,25 puntos) Las puntuaciones obtenidas por los aspirantes en el proceso de selección siguen una distribución normal,

X

, de media

5{,}6

y desviación típica

\sigma

. Sabiendo que la probabilidad de obtener una puntuación

X \leq 8{,}2

0{,}67

, calcule

\sigma

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(Y \geq 2) = 1 - 0{,}6^8 - 8\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6^7 \approx 0{,}8936}

\boxed{\text{b)}\ \sigma = \frac{2{,}6}{0{,}44} \approx 5{,}91}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) cada uno de los 8 amigos es un ensayo con dos resultados (seleccionado o no) y probabilidad de éxito

0{,}4

; suponiendo que unos no influyen en otros, el número de seleccionados es una binomial

B(8;\ 0{,}4)

. "Al menos 2" tiene muchos casos (

2, 3, \dots, 8

), así que es mucho más rápido pasar al complementario:

1 - P(X = 0) - P(X = 1)

.

En b) es un problema inverso de la normal: conocemos la probabilidad y buscamos un parámetro. Tipificamos, buscamos en la tabla el valor

z

cuya probabilidad acumulada es

0{,}67

e igualamos.

Desarrollo

a) Sea

Y

= "número de amigos seleccionados entre los 8". Cada amigo es seleccionado con probabilidad

p = 0{,}4

y no lo es con

q = 0{,}6

, de forma independiente, así que

Y \sim B(8;\ 0{,}4), \qquad P(Y = k) = \binom{8}{k}\,0{,}4^k\,0{,}6^{8-k}

Usamos el complementario:

P(Y \geq 2) = 1 - P(Y = 0) - P(Y = 1)

P(Y = 0) = 0{,}6^8 = 0{,}01679616

P(Y = 1) = \binom{8}{1}\,0{,}4\cdot 0{,}6^7 = 8 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}0279936 = 0{,}08957952

P(Y \geq 2) = 1 - 0{,}01679616 - 0{,}08957952 = 0{,}89362432 \approx 0{,}8936

X \sim N(5{,}6;\ \sigma)

. Tipificando con

Z = \dfrac{X - 5{,}6}{\sigma} \sim N(0, 1)

P(X \leq 8{,}2) = P\left(Z \leq \frac{8{,}2 - 5{,}6}{\sigma}\right) = P\left(Z \leq \frac{2{,}6}{\sigma}\right) = 0{,}67

Como

0{,}67 > 0{,}5

, el valor buscado es positivo y está en la tabla. En la tabla de la

N(0,1)

P(Z \leq 0{,}44) = 0{,}6700

, así que

\frac{2{,}6}{\sigma} = 0{,}44 \;\Longrightarrow\; \sigma = \frac{2{,}6}{0{,}44} = \frac{65}{11} \approx 5{,}91

Comprobación: con

\sigma = 5{,}91

\dfrac{8{,}2 - 5{,}6}{5{,}91} \approx 0{,}44

P(Z \leq 0{,}44) = 0{,}67

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) la corrección da 0,5 puntos solo por identificar la binomial: escribe $B(8;\ 0{,}4)$ y di qué cuenta la variable. "Al menos 2" incluye el 2; el complementario es "0 o 1", no "0, 1 o 2".

En b) el error típico es buscar $0{,}67$ como valor de $z$ en lugar de buscarlo dentro de la tabla, entre las probabilidades.