Rectas y planos

a) Vectores con origen en $A$:$$\overrightarrow{AB} = (0,\ 2,\ -4), \qquad \overrightarrow{AC} = (-4,\ -2,\ 0)$$No son proporcionales (el primero tiene primera coordenada nula y el segundo no), así que los tres puntos no están alineados y determinan un único plano. Su normal:$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & -4 \\ -4 & -2 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 8)\,\vec{i} - (0 - 16)\,\vec{j} + (0 + 8)\,\vec{k} = (-8,\ 16,\ 8)$$Tomamos el vector proporcional $\vec{n} = (1, -2, -1)$ y el punto $A(1,1,1)$:$$1(x - 1) - 2(y - 1) - 1(z - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv x - 2y - z + 2 = 0$$Comprobación: $A$: $1 - 2 - 1 + 2 = 0$ ✓; $B$: $1 - 6 + 3 + 2 = 0$ ✓; $C$: $-3 + 2 - 1 + 2 = 0$ ✓.

b) Como $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ son linealmente independientes, el conjunto $\bigl\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\bigr\}$ es dependiente si y solo si $\overrightarrow{AD}$ es combinación lineal de los otros dos, es decir, si y solo si $D \in \pi$.

Buscamos un punto sencillo de $\pi \equiv x - 2y - z + 2 = 0$: con $x = 0$ y $z = 0$ queda $-2y + 2 = 0$, $y = 1$. Tomamos$$D(0,\ 1,\ 0)$$que es distinto de $A$, $B$ y $C$. Comprobación con el determinante, con $\overrightarrow{AD} = (-1, 0, -1)$:$$\begin{vmatrix} 0 & 2 & -4 \\ -4 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 0 \cdot 2 - 2\,(4 - 0) + (-4)(0 - 2) = 0 - 8 + 8 = 0 \quad\text{(dependientes)}$$Cualquier otro punto de $\pi$ distinto de $A$, $B$ y $C$ también vale; por ejemplo, $D = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (-3, 1, -3)$.

c) Un punto del eje $OX$ tiene $y = z = 0$: $P(p, 0, 0)$. Entonces $\overrightarrow{AP} = (p - 1,\ -1,\ -1)$ y el producto mixto es$$\bigl[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AP}\bigr] = \bigl(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr)\cdot\overrightarrow{AP} = (-8,\ 16,\ 8)\cdot(p-1,\ -1,\ -1) = -8p + 8 - 16 - 8 = -8p - 16$$El volumen del tetraedro es$$V = \frac{1}{6}\,\Bigl|\bigl[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AP}\bigr]\Bigr| = \frac{|-8p - 16|}{6} = 1 \;\Longrightarrow\; |8p + 16| = 6$$$$8p + 16 = 6 \;\Rightarrow\; p = -\frac{5}{4} \qquad\text{o}\qquad 8p + 16 = -6 \;\Rightarrow\; p = -\frac{11}{4}$$Hay dos puntos posibles:$$P_1\left(-\frac{5}{4},\ 0,\ 0\right), \qquad P_2\left(-\frac{11}{4},\ 0,\ 0\right)$$Comprobación por otra vía (base por altura). El área de la base es $\tfrac{1}{2}\,|(-8,16,8)| = \tfrac{1}{2}\sqrt{384} = 4\sqrt{6}$. La distancia de $P_1$ a $\pi$ es $\dfrac{|-5/4 + 2|}{\sqrt{6}} = \dfrac{3}{4\sqrt{6}}$, y$$V = \frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{6}\cdot\frac{3}{4\sqrt{6}} = 1$$Para $P_2$, $\dfrac{|-11/4 + 2|}{\sqrt 6} = \dfrac{3}{4\sqrt 6}$: la misma distancia, al otro lado del plano ✓. (Observa que el eje $OX$ corta a $\pi$ en $(-2, 0, 0)$, justo el punto medio de $P_1$ y $P_2$.)