Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Integrales

Comunidad de Madrid · 2019 · Julio · Opción A

Enunciado

a) (1,25 puntos) Sean

f

g

dos funciones derivables de las que se conocen los siguientes datos:

f(1) = 1, \quad f'(1) = 2, \quad g(1) = 3, \quad g'(1) = 4.

Dada

h(x) = f\bigl((x+1)^2\bigr)

, use la regla de la cadena para calcular

h'(0)

. Dada

k(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}

, calcule

k'(1)

.

b) (1,25 puntos) Calcule la integral

\displaystyle\int (\operatorname{sen} x)^4 (\cos x)^3\, dx

. (Se puede usar el cambio de variables

t = \operatorname{sen} x

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ h'(0) = 4, \qquad k'(1) = \frac{2}{9}}

\boxed{\text{b)}\ \int \operatorname{sen}^4 x\cos^3 x\, dx = \frac{\operatorname{sen}^5 x}{5} - \frac{\operatorname{sen}^7 x}{7} + C}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) no conocemos

f

g

, solo sus valores y los de sus derivadas en

x = 1

. Así que derivamos en abstracto con las reglas de siempre y, al final, sustituimos. Lo importante es fijarse en dónde hay que evaluar

f'

: en

h

, la función de dentro es

(x+1)^2

, que en

x = 0

vale justo

1

, el punto del que tenemos datos.

En b) la potencia de

\cos x

es impar. El truco es separar un

\cos x

(que será el

dt

) y escribir el resto,

\cos^2 x

, en función del seno con

\cos^2 x = 1 - \operatorname{sen}^2 x

. Con el cambio

t = \operatorname{sen} x

la integral se convierte en la de un polinomio.

Desarrollo

a) Derivada de $h$ . Por la regla de la cadena, con

u(x) = (x+1)^2

u'(x) = 2(x+1)

h'(x) = f'\bigl((x+1)^2\bigr)\cdot 2(x+1)

x = 0

la función de dentro vale

(0+1)^2 = 1

, así que

h'(0) = f'(1)\cdot 2(0+1) = 2 \cdot 2 = 4

Derivada de $k$ . Por la regla del cociente:

k'(x) = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{g(x)^2}

k'(1) = \frac{f'(1)\,g(1) - f(1)\,g'(1)}{g(1)^2} = \frac{2\cdot 3 - 1\cdot 4}{3^2} = \frac{2}{9}

b) Separamos un factor

\cos x

y usamos

\cos^2 x = 1 - \operatorname{sen}^2 x

\int \operatorname{sen}^4 x\,\cos^3 x\, dx = \int \operatorname{sen}^4 x\,\bigl(1 - \operatorname{sen}^2 x\bigr)\cos x\, dx

Con el cambio

t = \operatorname{sen} x

dt = \cos x\, dx

\int t^4 (1 - t^2)\, dt = \int \bigl(t^4 - t^6\bigr)\, dt = \frac{t^5}{5} - \frac{t^7}{7} + C

Deshaciendo el cambio:

\int \operatorname{sen}^4 x\,\cos^3 x\, dx = \frac{\operatorname{sen}^5 x}{5} - \frac{\operatorname{sen}^7 x}{7} + C

Comprobación derivando:

\frac{d}{dx}\left(\frac{\operatorname{sen}^5 x}{5} - \frac{\operatorname{sen}^7 x}{7}\right) = \operatorname{sen}^4 x\cos x - \operatorname{sen}^6 x \cos x = \operatorname{sen}^4 x \cos x\,(1 - \operatorname{sen}^2 x) = \operatorname{sen}^4 x\cos^3 x

que es el integrando ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error más frecuente en $h'(0)$ es escribir $f'(0)$ en lugar de $f'(1)$ : la derivada de fuera se evalúa en el valor de la función de dentro, $(0+1)^2 = 1$ , no en $x = 0$ . Y no olvides el factor $2(x+1)$ de la derivada interior.

En la integral, termina siempre deshaciendo el cambio y con la constante $+C$ : la corrección reserva 0,25 puntos solo para volver a la variable $x$ .