Sistemas de ecuaciones

a) Las matrices de coeficientes y ampliada son$$M = \begin{pmatrix} k & k+1 & 1 \\ -1 & k & -1 \\ k-1 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} k & k+1 & 1 & 0 \\ -1 & k & -1 & 0 \\ k-1 & -1 & 0 & -(k+1) \end{array}\right)$$Desarrollamos $|M|$ por la primera fila:$$|M| = k\begin{vmatrix} k & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} - (k+1)\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ k-1 & 0 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} -1 & k \\ k-1 & -1 \end{vmatrix}$$$$= k(0 - 1) - (k+1)\bigl(0 + (k-1)\bigr) + \bigl(1 - k(k-1)\bigr) = -k - (k^2 - 1) + 1 - k^2 + k = 2 - 2k^2$$$$|M| = 2(1 - k^2) = 0 \iff k = 1 \ \text{ o } \ k = -1$$Caso $k \neq \pm 1$. $|M| \neq 0$, luego $\operatorname{rg} M = 3 = \operatorname{rg} M^*$, que es el número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $k = 1$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} x + 2y + z = 0 \\ -x + y - z = 0 \\ -y = -2 \end{array}\right.$$El menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$, así que $\operatorname{rg} M = 2$. En la ampliada orlamos con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} = -2\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -2 \cdot 3 = -6 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg} M^* = 3$$Como $\operatorname{rg} M = 2 \neq 3 = \operatorname{rg} M^*$, el sistema es incompatible. Se ve también a mano: sumando las dos primeras ecuaciones sale $3y = 0$, es decir $y = 0$, mientras que la tercera dice $y = 2$.

Caso $k = -1$. El término independiente $-(k+1)$ vale $0$ y el sistema es homogéneo:$$\left\{\begin{array}{l} -x + z = 0 \\ -x - y - z = 0 \\ -2x - y = 0 \end{array}\right.$$Un sistema homogéneo siempre es compatible (tiene al menos la solución nula). Además $|M| = 0$ y el menor $\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$, así que $\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado con $3 - 2 = 1$ parámetro. (De hecho, la tercera ecuación es la suma de las dos primeras.)

Resumen de la discusión:

• $k \neq 1$ y $k \neq -1$: compatible determinado.
• $k = 1$: incompatible.
• $k = -1$: compatible indeterminado (un parámetro).

b) Con $k = -1$ nos quedamos con las dos primeras ecuaciones, que son independientes. De la primera, $z = x$. Sustituyendo en la segunda:$$-x - y - x = 0 \;\Longrightarrow\; y = -2x$$Llamando $x = \lambda$:$$(x,\ y,\ z) = (\lambda,\ -2\lambda,\ \lambda), \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación en las tres ecuaciones: $-\lambda + \lambda = 0$ ✓; $-\lambda + 2\lambda - \lambda = 0$ ✓; $-2\lambda + 2\lambda = 0$ ✓.