Distribución normal

Sea $X$ = «estatura en cm de un habitante», con $X \sim N(\mu = 170,\ \sigma = 10)$, y $Z \sim N(0, 1)$.

a) Tipificamos:$$z_1 = \frac{170 - 170}{10} = 0, \qquad z_2 = \frac{185 - 170}{10} = 1{,}5$$$$P(170 \le X \le 185) = P(0 \le Z \le 1{,}5) = P(Z \le 1{,}5) - P(Z \le 0) = 0{,}9332 - 0{,}5 = 0{,}4332$$Es decir, el $43{,}32\ \%$ de los habitantes mide entre 170 y 185 cm.

b) Buscamos la altura $k$ que deja por encima al $33\ \%$ de la población:$$P(X \ge k) = 0{,}33 \iff P(X \le k) = 0{,}67$$Tipificando, $P\left(Z \le \frac{k - 170}{10}\right) = 0{,}67$. En el interior de la tabla, $0{,}6700$ aparece exactamente en $z = 0{,}44$, luego$$\frac{k - 170}{10} = 0{,}44 \iff k = 170 + 4{,}4 = 174{,}4 \ \text{cm}$$Comprobación. $174{,}4$ está por encima de la media, como debe ser (el grupo de los más altos es menos de la mitad), y $P(X \ge 174{,}4) = 1 - P(Z \le 0{,}44) = 1 - 0{,}6700 = 0{,}33$.