Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Extremadura · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Resuelve la integral (2 puntos)

\int \frac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3}\,dx.

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Resultado

\boxed{\int \frac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3}\,dx = 2\ln|x - 1| + 3\ln|x + 3| + C}

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Estrategia

Es una integral racional con el numerador de menor grado que el denominador, así que no hace falta dividir. Factorizamos el denominador, que tiene dos raíces reales distintas, y descomponemos en fracciones simples: cada una se integra como un logaritmo.

Desarrollo

Factorización del denominador.

x^2 + 2x - 3 = 0 \iff x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \iff x = 1 \ \text{o}\ x = -3

x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)

Fracciones simples. Buscamos

A

B

tales que

\frac{5x + 3}{(x - 1)(x + 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3} \iff 5x + 3 = A(x + 3) + B(x - 1)

Dando a

x

los valores de las raíces:

$x = 1$ : $\ 8 = 4A$ , luego $A = 2$ .
$x = -3$ : $\ -12 = -4B$ , luego $B = 3$ .

Integración.

\int \frac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3}\,dx = \int \frac{2}{x - 1}\,dx + \int \frac{3}{x + 3}\,dx = 2\ln|x - 1| + 3\ln|x + 3| + C

Comprobación. Derivando:

\frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 3} = \frac{2(x + 3) + 3(x - 1)}{(x - 1)(x + 3)} = \frac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3}

Consejo

Para hallar los coeficientes, sustituye $x$ por las raíces del denominador en la identidad $5x + 3 = A(x + 3) + B(x - 1)$ : cada valor anula un sumando y da un coeficiente directamente, sin resolver un sistema.

No olvides el valor absoluto dentro de los logaritmos ni la constante $C$ : en una integral indefinida suelen restar si faltan.