Matemáticas IIFácil2 pts

Derivadas y aplicaciones

Extremadura · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función

f(x) = x^2 e^x

. (2 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{f'(x) = x(x+2)e^x:\quad f \text{ crece en } (-\infty, -2) \cup (0, +\infty) \text{ y decrece en } (-2, 0)}

\boxed{\text{Máximo relativo } \left(-2, \tfrac{4}{e^2}\right),\ \text{mínimo relativo } (0, 0)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La monotonía se lee en el signo de la derivada: donde

f'(x) > 0

la función crece y donde

f'(x) < 0

decrece. Derivamos con la regla del producto, sacamos factor común para tener

f'

factorizada, hallamos sus ceros y estudiamos el signo en cada intervalo que determinan.

Desarrollo

Dominio.

x^2

e^x

están definidas y son derivables en todo

\mathbb{R}

, así que

\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}

f

es derivable en todo su dominio.

Derivada (regla del producto):

f'(x) = 2x\,e^x + x^2 e^x = e^x\left(x^2 + 2x\right) = x(x + 2)\,e^x

Puntos críticos. Como

e^x > 0

para todo

x

f'(x) = 0 \iff x(x + 2) = 0 \iff x = 0 \ \text{o}\ x = -2

Signo de $f'$ . El signo lo deciden

x

x + 2

Intervalo	$(-\infty, -2)$	$(-2, 0)$	$(0, +\infty)$
Valor de prueba	$x = -3$	$x = -1$	$x = 1$
$f'$	$3e^{-3} > 0$	$-e^{-1} < 0$	$3e > 0$
$f$	crece	decrece	crece

Conclusión.

$f$ es creciente en $(-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$ .
$f$ es decreciente en $(-2, 0)$ .

En consecuencia,

f

tiene un máximo relativo en

x = -2

, con

f(-2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2} \approx 0{,}54

, y un mínimo relativo en

x = 0

, con

f(0) = 0

(que es además el mínimo absoluto, porque

f(x) = x^2 e^x \ge 0

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Saca factor común $e^x$ al derivar: con $f'(x) = x(x+2)e^x$ los ceros y el signo se ven de inmediato, porque $e^x$ es siempre positiva y no influye.

Justifica el signo en cada intervalo (tabla con un valor de prueba) y da los intervalos abiertos. Nombrar el máximo y el mínimo relativos que separan los tramos redondea la respuesta, aunque solo se pida la monotonía.