Matemáticas IIFácil2 pts

Rectas y planos

Extremadura · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Dados los puntos

A = (1, 0, 2)

B = (3, -2, -2)

. Calcule la ecuación del plano perpendicular al segmento

\overline{AB}

que pasa por su punto medio. (2 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\pi:\ x - y - 2z - 3 = 0}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el plano mediador del segmento

\overline{AB}

. Un plano perpendicular al segmento tiene como vector normal el propio

\overrightarrow{AB}

; con el punto medio

M

como punto del plano, la ecuación sale directamente de la forma punto-normal.

Desarrollo

Punto medio de $\overline{AB}$ :

M = \left(\frac{1 + 3}{2},\ \frac{0 + (-2)}{2},\ \frac{2 + (-2)}{2}\right) = (2, -1, 0)

Vector normal. El plano es perpendicular a

\overline{AB}

, así que su vector normal es

\overrightarrow{AB} = (3 - 1,\ -2 - 0,\ -2 - 2) = (2, -2, -4)

o cualquier proporcional; tomamos

\vec n = (1, -1, -2)

.

Ecuación. Plano que pasa por

M = (2, -1, 0)

con vector normal

(1, -1, -2)

1\cdot(x - 2) - 1\cdot(y + 1) - 2\cdot(z - 0) = 0 \iff x - y - 2z - 3 = 0

Comprobación.

M

2 + 1 - 0 - 3 = 0

✓. Además el plano mediador es el lugar de los puntos que equidistan de

A

B

; imponiéndolo se llega a la misma ecuación:

(x - 1)^2 + y^2 + (z - 2)^2 = (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 \iff 4x - 4y - 8z - 12 = 0 \iff x - y - 2z - 3 = 0

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

«Perpendicular al segmento» quiere decir que el vector del segmento es el normal del plano, no un vector contenido en él: es el error más frecuente en este ejercicio.

Comprueba que el punto medio cumple la ecuación; y, si te sobra tiempo, que $A$ y $B$ dan valores opuestos al sustituirlos ( $1 - 0 - 4 - 3 = -6$ y $3 + 2 + 4 - 3 = 6$ ).