Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

Extremadura · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Dada la matriz

A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ \lambda & 1 & \lambda \\ 0 & -\lambda & -1 \end{pmatrix}

a) (1 punto) Halle los valores de

\lambda \in \mathbb{R}

para los que la matriz

A

tenga inversa.

b) (1 punto) Halle, si existe, la inversa de la matriz para

\lambda = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \exists\, A^{-1} \iff \lambda \neq -1 \text{ y } \lambda \neq \tfrac{3}{2}}

\boxed{\text{b)}\ A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & -2 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. En a) calculamos

|A|

en función de

\lambda

y quitamos los valores que lo anulan. En b), con

\lambda = 1

(que no es uno de esos valores), la inversa se obtiene por adjuntos:

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A)^t

Desarrollo

a) Por la regla de Sarrus:

|A| = 3\cdot 1\cdot(-1) + (-1)\cdot\lambda\cdot 0 + 1\cdot\lambda\cdot(-\lambda) - \bigl[1\cdot 1\cdot 0 + 3\cdot\lambda\cdot(-\lambda) + (-1)\cdot\lambda\cdot(-1)\bigr]

|A| = -3 - \lambda^2 - \bigl(-3\lambda^2 + \lambda\bigr) = 2\lambda^2 - \lambda - 3

2\lambda^2 - \lambda - 3 = 0 \iff \lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4} \iff \lambda = \frac{3}{2} \ \text{o}\ \lambda = -1

A

tiene inversa si y solo si

|A| \neq 0

, es decir, para

\lambda \neq -1

\lambda \neq \frac{3}{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Con

\lambda = 1

|A| = 2 - 1 - 3 = -2 \neq 0

, así que la inversa existe.

A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}

Adjuntos

A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1

A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -2, \quad A_{22} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -3, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 3

A_{31} = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2, \quad A_{33} = \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 4

\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -2 & -3 & 3 \\ -2 & -2 & 4 \end{pmatrix}, \qquad \operatorname{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -2 \\ 1 & -3 & -2 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A)^t = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & -2 & -2 \\ 1 & -3 & -2 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & -2 \end{pmatrix}

Comprobación. Primera fila de

A

por las columnas de

A^{-1}

3\cdot 0 + (-1)\left(-\frac{1}{2}\right) + 1\cdot\frac{1}{2} = 1

\ 3 - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0

\ 3 - 1 - 2 = 0

. Las otras filas dan igual

(0, 1, 0)

(0, 0, 1)

A\cdot A^{-1} = I

✓.

Consejo

En b) di primero que la inversa existe porque $|A| = -2 \neq 0$ (el enunciado dice «si existe»). Después, cuidado con dos errores clásicos: olvidar los signos $(-1)^{i+j}$ de los adjuntos y olvidar trasponer la matriz adjunta.

Multiplica $A\cdot A^{-1}$ al final: si sale la identidad, el apartado está bien seguro.