Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Extremadura · 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

Sean las funciones

f(x) = x^2 - 4

g(x) = \dfrac{1}{2}\,x^2 - 2

.

a) (0,5 puntos) Represente la región plana encerrada por las funciones

f(x)

g(x)

.

b) (1,5 puntos) Calcule el área de la región anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) Región entre } g \text{ (arriba) y } f \text{ (abajo) para } -2 \le x \le 2,\ \text{cortes en } (\pm 2, 0)}

\boxed{\text{b)}\ \text{Área} = \int_{-2}^{2}\left(2 - \tfrac{x^2}{2}\right)dx = \tfrac{16}{3} \approx 5{,}33\ \text{u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las dos funciones son parábolas con el vértice en el eje

Y

. Para dibujar la región basta con sus vértices y sus cortes con los ejes, y con los puntos en que se cortan entre sí, que son además los límites de integración. El área es la integral de la función de arriba menos la de abajo entre esos dos puntos, que se calcula con la regla de Barrow.

Desarrollo

a) Puntos de corte entre las curvas.

x^2 - 4 = \frac{1}{2}x^2 - 2 \iff \frac{1}{2}x^2 = 2 \iff x^2 = 4 \iff x = -2 \ \text{o}\ x = 2

En los dos,

f(\pm 2) = g(\pm 2) = 0

: las curvas se cortan en

(-2, 0)

(2, 0)

, que son también sus cortes con el eje

X

.

Las dos parábolas.

$f(x) = x^2 - 4$ : abierta hacia arriba, vértice $(0, -4)$ , corta al eje $X$ en $x = \pm 2$ .
$g(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2$ : abierta hacia arriba y más ancha, vértice $(0, -2)$ , corta al eje $X$ en $x = \pm 2$ .

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$
$g(x)$	$0$	$-1{,}5$	$-2$	$-1{,}5$	$0$

Entre

-2

2

la parábola

g

va por encima de

f

(en

x = 0

-2 > -4

). La región es la «lente» que queda entre las dos curvas, de

x = -2

x = 2

, toda ella por debajo del eje

X

, con la curva

g

como borde superior y

f

como borde inferior. Es simétrica respecto del eje

Y

porque las dos funciones son pares.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) El área es la integral de

g - f

entre los puntos de corte:

g(x) - f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2 - x^2 + 4 = 2 - \frac{1}{2}x^2

\text{Área} = \int_{-2}^{2}\left(2 - \frac{x^2}{2}\right)dx = \left[2x - \frac{x^3}{6}\right]_{-2}^{2} = \left(4 - \frac{8}{6}\right) - \left(-4 + \frac{8}{6}\right) = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}

Comprobación. El integrando es par, así que el área es el doble de la de

[0, 2]

2\left[2x - \frac{x^3}{6}\right]_0^2 = 2\cdot\frac{8}{3} = \frac{16}{3}

✓.

Consejo

Aunque la región esté entera por debajo del eje $X$ , no hay que cambiar ningún signo: lo que cuenta es qué curva va arriba. Con «la de arriba menos la de abajo» el integrando es positivo y el área sale positiva sin más.

En el dibujo marca los vértices y los puntos de corte: es lo que se puntúa en a).

Paso 1 de 3

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Integrales

Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera la función