Límites y continuidad

Teorema de Bolzano. Si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos distintos, existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

Definimos$$f(x) = \operatorname{sen}\left(x^2\right) - x + 1$$de modo que la ecuación $\operatorname{sen}(x^2) = x - 1$ equivale a $f(x) = 0$.

Continuidad. $x^2$ es un polinomio y el seno es continuo en $\mathbb{R}$, así que $\operatorname{sen}(x^2)$ es continua (composición de continuas); $-x + 1$ también lo es. Su suma $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, en $[0, 3]$.

Cambio de signo.$$f(0) = \operatorname{sen} 0 - 0 + 1 = 1 > 0$$$$f(3) = \operatorname{sen} 9 - 3 + 1 = \operatorname{sen} 9 - 2 \le 1 - 2 = -1 < 0$$(no hace falta saber cuánto vale $\operatorname{sen} 9$: el seno nunca pasa de $1$).

Conclusión. $f$ es continua en $[0, 3]$ y $f(0) > 0 > f(3)$. Por el teorema de Bolzano existe $c \in (0, 3)$ con $f(c) = 0$, es decir,$$\operatorname{sen}\left(c^2\right) = c - 1, \qquad 0 < c < 3$$y como $c > 0$, la ecuación tiene una solución positiva.

Para afinar (no se pide). $f(1) = \operatorname{sen} 1 \approx 0{,}84 > 0$ y $f(2) = \operatorname{sen} 4 - 1 \approx -1{,}76 < 0$, así que la solución está en $(1, 2)$; numéricamente, $c \approx 1{,}586$.