Rectas y planos

a) Vectores con origen en $A$:$$\overrightarrow{AB} = (2, 0, -1), \qquad \overrightarrow{AC} = (0, 2, -1)$$No son proporcionales, así que $A$, $B$ y $C$ no están alineados y determinan un plano. Un vector normal es$$\vec n = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (0 + 2,\ 0 + 2,\ 4 - 0) = (2, 2, 4)$$Tomamos el proporcional $(1, 1, 2)$. El plano es $x + y + 2z + D = 0$ y pasa por $A = (0, 0, 2)$: $4 + D = 0$, $D = -4$.$$\Pi:\ x + y + 2z - 4 = 0$$Comprobación. $B$: $2 + 0 + 2 - 4 = 0$ ✓. $C$: $0 + 2 + 2 - 4 = 0$ ✓.

b) Sustituimos $D = (-2, 2, -1)$ en la ecuación de $\Pi$:$$-2 + 2 + 2\cdot(-1) - 4 = -6 \neq 0$$$D$ no está en el plano que contiene a $A$, $B$ y $C$, luego los cuatro puntos no son coplanarios. Con el producto mixto se llega a lo mismo: con $\overrightarrow{AD} = (-2, 2, -3)$,$$\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\right] = \begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ -2 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 2(-6 + 2) - 0 + (-1)(0 + 4) = -8 - 4 = -12 \neq 0$$c) Lados del triángulo con origen en $B$:$$\overrightarrow{BC} = (-2, 2, 0), \qquad \overrightarrow{BD} = (-4, 2, -2)$$$$\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -2 & 2 & 0 \\ -4 & 2 & -2 \end{vmatrix} = (-4 - 0,\ -(4 - 0),\ -4 + 8) = (-4, -4, 4)$$$$\left|\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD}\right| = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$$$\text{Área}_{BCD} = \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD}\right| = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46 \ \text{u}^2$$