Sistemas de ecuaciones

Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & a \\ a & 1 & -1 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & a & 1 \\ a & 1 & -1 & 2 \\ 5 & 3 & 1 & 2a \end{array}\right)$$Por la regla de Sarrus:$$|A| = 3 + (-10) + 3a^2 - 5a - (-9) - 2a = 3a^2 - 7a + 2$$$$|A| = 0 \iff a = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6} = \frac{7 \pm 5}{6} \iff a = 2 \ \text{o}\ a = \frac{1}{3}$$Caso $a \neq 2$ y $a \neq \frac{1}{3}$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $a = 2$. El menor de las dos primeras filas y columnas es$$\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 4 = -1 \neq 0$$y como $|A| = 0$, $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 5 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 3(4 - 6) - 2(8 - 10) + 1(6 - 5) = -6 + 4 + 1 = -1 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible. Se ve también a simple vista: con $a = 2$ la tercera fila de coeficientes $(5, 3, 1)$ es la suma de las dos primeras, $(3, 2, 2) + (2, 1, -1)$, pero los términos independientes no: $1 + 2 = 3 \neq 4$.

Caso $a = \frac{1}{3}$. El menor$$\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ \frac{1}{3} & 1 \end{vmatrix} = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3} \neq 0$$junto con $|A| = 0$ da $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlamos con la tercera fila y la columna de términos independientes ($2a = \frac{2}{3}$):$$\begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ \frac{1}{3} & 1 & 2 \\ 5 & 3 & \frac{2}{3} \end{vmatrix} = 3\left(\frac{2}{3} - 6\right) - 2\left(\frac{2}{9} - 10\right) + 1\left(1 - 5\right) = -16 + \frac{176}{9} - 4 = -\frac{4}{9} \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible.