Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Extremadura · 2019 · Julio · Opción B

Enunciado

Se estima que el 40 % de los alumnos que comienzan un grado de ingeniería acaban obteniendo el grado. Si se elige al azar a 5 alumnos que comenzaron una ingeniería, calcule:

a) (0,75 puntos) la probabilidad de que los 5 alumnos obtengan el grado de ingeniero.

b) (0,75 puntos) la probabilidad de que como máximo 2 obtengan el grado de ingeniero.

c) (0,5 puntos) la media y la desviación típica de la distribución.

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Resultado

\boxed{\;X \sim B(5;\ 0{,}4):\quad \text{a)}\ P(X = 5) = 0{,}4^5 = 0{,}01024;\quad \text{b)}\ P(X \leq 2) = 0{,}68256\;}

\boxed{\;\text{c)}\ \mu = 2,\quad \sigma = \sqrt{1{,}2} \approx 1{,}0954\;}

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Estrategia

Cada alumno es un ensayo con dos resultados (obtiene el grado o no), con la misma probabilidad de éxito

p = 0{,}4

, y los alumnos, elegidos al azar, son independientes. El número de los que acaban el grado es, por tanto, una binomial

X \sim B(5;\ 0{,}4)

. Las probabilidades salen de la fórmula

P(X = k) = \binom{n}{k}p^k q^{n-k}

(o de la tabla), y la media y la desviación típica de

\mu = np

\sigma = \sqrt{npq}

Desarrollo

Sea

X

= «número de alumnos, de los 5, que obtienen el grado». Entonces

X \sim B(5;\ 0{,}4)

, con

q = 1 - p = 0{,}6

P(X = k) = \binom{5}{k}\,0{,}4^k\,0{,}6^{5-k}, \qquad k = 0, 1, \ldots, 5

a) Los cinco obtienen el grado:

P(X = 5) = \binom{5}{5}\,0{,}4^5\,0{,}6^0 = 0{,}4^5 = 0{,}01024 \approx 0{,}0102

b) «Como máximo 2» es

X \leq 2

, es decir,

X = 0

1

2

P(X = 0) = 0{,}6^5 = 0{,}07776

P(X = 1) = \binom{5}{1}\,0{,}4\cdot 0{,}6^4 = 5\cdot 0{,}4\cdot 0{,}1296 = 0{,}2592

P(X = 2) = \binom{5}{2}\,0{,}4^2\cdot 0{,}6^3 = 10\cdot 0{,}16\cdot 0{,}216 = 0{,}3456

P(X \leq 2) = 0{,}07776 + 0{,}2592 + 0{,}3456 = 0{,}68256 \approx 0{,}6826

Con la tabla de la

B(5;\ 0{,}4)

0{,}0778 + 0{,}2592 + 0{,}3456 = 0{,}6826

, el mismo valor.

c) Para una binomial

B(n, p)

\mu = n\,p = 5\cdot 0{,}4 = 2

\sigma = \sqrt{n\,p\,q} = \sqrt{5\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6} = \sqrt{1{,}2} \approx 1{,}0954

Es decir, de cada 5 alumnos que empiezan, por término medio 2 acaban el grado.

Comprobación. Las seis probabilidades suman 1:

0{,}07776 + 0{,}2592 + 0{,}3456 + 0{,}2304 + 0{,}0768 + 0{,}01024 = 1

✓.

Consejo

«Como máximo 2» incluye el 2 y también el 0: $P(X \leq 2) = P(0) + P(1) + P(2)$ . Olvidar $P(X = 0)$ es el despiste más frecuente.

No confundas la varianza con la desviación típica: $npq = 1{,}2$ es la varianza; la desviación típica es su raíz, $\sigma \approx 1{,}0954$ .