Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Extremadura · 2019 · Julio · Opción B

Enunciado

Calcule una primitiva

F(x)

de la función

f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 1}.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;F(x) = 2\ln|x + 1| - \ln|x - 1| \quad \left(\text{todas: } F(x) + C\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una integral racional en la que el numerador tiene menor grado que el denominador, así que no hace falta dividir. El denominador se factoriza,

x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

, con dos raíces reales simples: descomponemos en fracciones simples y cada una se integra como un logaritmo. Al final derivamos para comprobar.

Desarrollo

Descomposición. Buscamos

A

B

tales que

\frac{x - 3}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} \ \Longrightarrow\ x - 3 = A(x + 1) + B(x - 1)

Dando a

x

los valores de las raíces:

$x = 1$ : $\ 1 - 3 = 2A \ \Rightarrow\ A = -1$
$x = -1$ : $\ -1 - 3 = -2B \ \Rightarrow\ B = 2$

\frac{x - 3}{x^2 - 1} = \frac{-1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}

Integración. Cada sumando es inmediato, de la forma

\int \frac{dx}{x - c} = \ln|x - c|

\int \frac{x - 3}{x^2 - 1}\,dx = -\int \frac{dx}{x - 1} + 2\int \frac{dx}{x + 1} = -\ln|x - 1| + 2\ln|x + 1| + C

Como piden una primitiva, tomamos

C = 0

F(x) = 2\ln|x + 1| - \ln|x - 1| = \ln\frac{(x + 1)^2}{|x - 1|}

válida en cada intervalo del dominio,

(-\infty, -1)

(-1, 1)

(1, +\infty)

.

Comprobación. Derivando:

F'(x) = \frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} = \frac{2(x - 1) - (x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x - 3}{x^2 - 1} = f(x)

Consejo

Para hallar los coeficientes de las fracciones simples, da a $x$ los valores de las raíces del denominador: cada uno anula un sumando y despeja un coeficiente al instante.

No olvides los valores absolutos dentro del logaritmo: sin ellos la primitiva no estaría definida en $(-1, 1)$ , donde $f$ también existe.