Matemáticas IIMedio2 pts

Derivadas y aplicaciones

Extremadura · 2019 · Julio · Opción B

Enunciado

Sea la función

f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}.

a) (1,5 puntos) Estudie las asíntotas, la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de

f(x)

.

b) (0,5 puntos) Represente la gráfica de

f(x)

utilizando el apartado anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{A. V.: } x = \pm 1;\quad \text{A. H.: } y = 1;\quad \text{sin oblicuas}\;}

\boxed{\;\text{Crece en } (-\infty,-1)\cup(-1,0);\ \text{decrece en } (0,1)\cup(1,+\infty);\ \text{máximo relativo en } (0,0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una función racional: el dominio excluye las raíces del denominador, que son los candidatos a asíntotas verticales (se confirman con los límites laterales). Como numerador y denominador tienen el mismo grado, hay asíntota horizontal y no oblicua.

Para la monotonía derivamos con la regla del cociente y estudiamos el signo de $f'$ en los intervalos que marcan sus ceros y los puntos fuera del dominio. Los cambios de signo dan los extremos. Con todo eso (y la simetría:

f

es par) se dibuja la gráfica.

Desarrollo

Dominio.

x^2 - 1 = 0 \iff x = \pm 1

, así que

\operatorname{Dom} f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}

. Además

f(-x) = f(x)

f

es par y su gráfica es simétrica respecto del eje

OY

.

a) Asíntotas verticales. El numerador vale

1 \neq 0

x = \pm 1

, así que los límites son infinitos. Por los signos:

\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^-} = -\infty, \qquad \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^+} = +\infty

\lim_{x \to -1^-} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^+} = +\infty, \qquad \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^-} = -\infty

x = 1

x = -1

son asíntotas verticales.

Asíntota horizontal.

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2 - 1} = 1

y = 1

es asíntota horizontal (por los dos lados), y por eso no hay asíntota oblicua. Como

f(x) - 1 = \dfrac{1}{x^2 - 1} > 0

|x| > 1

, la gráfica se acerca a

y = 1

por encima.

Monotonía. Por la regla del cociente:

f'(x) = \frac{2x\,(x^2 - 1) - x^2\cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2}

El denominador es positivo en todo el dominio, así que el signo de

f'

es el de

-2x

f'(x) = 0 \iff x = 0

Intervalo	$(-\infty, -1)$	$(-1, 0)$	$(0, 1)$	$(1, +\infty)$
Signo de $f'$	$+$	$+$	$-$	$-$
$f$	crece	crece	decrece	decrece

f

es creciente en

(-\infty, -1) \cup (-1, 0)

y decreciente en

(0, 1) \cup (1, +\infty)

.

Extremos relativos. En

x = 0

(que está en el dominio)

f'

pasa de positiva a negativa: máximo relativo en

(0, f(0)) = (0, 0)

. No hay mínimos relativos (en

x = \pm 1

también cambia el signo, pero no son puntos del dominio).

b) Gráfica. Reunimos lo anterior:

El único corte con los ejes es el origen, que es el máximo relativo.
En $(-1, 1)$ la función es negativa o nula ( $f(x) \leq 0$ ): baja desde el máximo $(0, 0)$ hacia $-\infty$ al acercarse a $x = 1$ por la izquierda y, por simetría, a $x = -1$ por la derecha. Es un «arco» con forma de $\cap$ .
Para $x > 1$ la función baja desde $+\infty$ (junto a $x = 1$ ) hasta acercarse a $y = 1$ por encima; para $x < -1$ , la rama simétrica: sube hacia $+\infty$ junto a $x = -1$ y se pega a $y = 1$ hacia la izquierda.

(Si se quiere afinar,

f''(x) = \dfrac{2(3x^2 + 1)}{(x^2 - 1)^3}

: convexa en las dos ramas de fuera y cóncava en el arco central, sin puntos de inflexión.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Comprobación.

f(2) = \tfrac{4}{3} > 1

f(3) = \tfrac{9}{8}

: por encima de la asíntota y bajando ✓;

f(\tfrac{1}{2}) = \dfrac{1/4}{-3/4} = -\tfrac{1}{3} < 0

✓.

Consejo

En $x = \pm 1$ la derivada cambia de signo, pero no hay extremo: esos puntos no son del dominio. Los extremos solo pueden estar donde la función existe.

Fíjate en la paridad antes de empezar: con $f(-x) = f(x)$ basta estudiar $x \geq 0$ y reflejar, y te sirve para comprobar los límites laterales en $x = -1$ .