Rectas y planos

Vectores directores:$$\overrightarrow{AB} = (0, -2, 0) \ \Rightarrow\ \vec u = (0, 1, 0), \qquad \overrightarrow{CD} = (2, -2, -1) = \vec v$$a) El vector normal de $\Pi$ es perpendicular a $\vec u$ y a $\vec v$:$$\vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & -1 \end{vmatrix} = (-1 - 0)\,\vec i - (0 - 0)\,\vec j + (0 - 2)\,\vec k = (-1, 0, -2)$$Tomamos $\vec n = (1, 0, 2)$ y el punto $C(-1, 2, 0)$ de $s$:$$1\,(x + 1) + 0\,(y - 2) + 2\,(z - 0) = 0 \ \Longrightarrow\ \Pi \equiv x + 2z + 1 = 0$$Comprobación. $C$: $-1 + 0 + 1 = 0$ ✓; $D$: $1 - 2 + 1 = 0$ ✓ (luego $s \subset \Pi$). $\vec n \cdot \vec u = 0$ ✓ (luego $r$ es paralela a $\Pi$). Además $A$ no está en $\Pi$ ($0 - 2 + 1 = -1 \neq 0$), así que $r$ es paralela al plano sin estar contenida en él.

b) Las rectas no son paralelas ($\vec u$ y $\vec v$ no son proporcionales) y $r$ no corta a $\Pi$, que contiene a $s$: por tanto se cruzan. Su distancia es la de un punto de $r$, por ejemplo $A(0, 0, -1)$, al plano $\Pi$:$$d(r, s) = d(A, \Pi) = \frac{|0 + 2\cdot(-1) + 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt 5} = \frac{\sqrt 5}{5} \approx 0{,}447 \ \text{u}$$Comprobación con el producto mixto. Con $\overrightarrow{AC} = (-1, 2, 1)$:$$\bigl[\overrightarrow{AC}, \vec u, \vec v\bigr] = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 1\cdot\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1$$$$d(r, s) = \frac{\bigl|[\overrightarrow{AC}, \vec u, \vec v]\bigr|}{|\vec u \times \vec v|} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$El resultado coincide ✓, y que el producto mixto sea distinto de cero confirma que las rectas se cruzan.