Sistemas de ecuaciones

Matriz de coeficientes y ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -a \\ 1 & 1 & 0 \\ a+1 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -a & 2 \\ 1 & 1 & 0 & a+1 \\ a+1 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right)$$Desarrollamos $|A|$ por la primera fila:$$|A| = 2\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ a+1 & -1 \end{vmatrix} + (-a)\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ a+1 & 1 \end{vmatrix} = 2(-1) - (-1) - a\bigl(1 - (a+1)\bigr)$$$$|A| = -2 + 1 + a^2 = a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$$$$|A| = 0 \iff a = 1 \ \text{ o } \ a = -1$$Caso $a \neq 1$ y $a \neq -1$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $a = 1$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ y $|A| = 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. En la ampliada, la tercera fila es igual a la primera, de modo que todos los menores de orden 3 de $A^*$ son nulos y $\operatorname{rg}(A^*) = 2$. Como $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, dependientes de un parámetro).

(Si se quieren las soluciones: de $x + y = 2$ y $2x + y - z = 2$, con $z = \lambda$, sale $x = \lambda$, $y = 2 - \lambda$.)

Caso $a = -1$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right)$$Con el mismo menor $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ y $|A| = 0$, $\operatorname{rg}(A) = 2$. Lo orlamos con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(2 - 0) - 1(2 - 0) + 2(1 - 0) = 4 - 2 + 2 = 4 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq 2 = \operatorname{rg}(A)$: sistema incompatible.

Comprobación a mano. Con $a = -1$, la segunda ecuación da $y = -x$; la primera, $2x - x + z = 2$, o sea $z = 2 - x$; y la tercera queda $-x - (2 - x) = -2$, que debería valer $2$: contradicción ✓. Con $a = 1$, la solución $(\lambda, 2 - \lambda, \lambda)$ cumple las tres: $2\lambda + 2 - \lambda - \lambda = 2$, $\lambda + 2 - \lambda = 2$ y la tercera es la primera ✓.